Чтобы решить задачу о вероятности выручки магазина электроники и бытовой техники по неравенству Чебышева, давайте разберем все шаги подробно.
Дано:
- Среднее значение (математическое ожидание) выручки ( \mu = 115000 ) руб.
- Среднее квадратическое отклонение ( \sigma = 9000 ) руб.
- Мы хотим узнать вероятность того, что выручка лежит в пределах от ( 100000 ) руб. до ( 130000 ) руб.
Шаг 1: Вычисление отклонений от среднего значения
Чтобы воспользоваться неравенством Чебышева, сначала определим, насколько данные значения (100000 и 130000 руб.) отклоняются от среднего значения.
Для нижней границы:
[
k_1 = \frac{100000 - 115000}{9000} = \frac{-15000}{9000} \approx -1.67
]
Для верхней границы:
[
k_2 = \frac{130000 - 115000}{9000} = \frac{15000}{9000} \approx 1.67
]
Теперь найдём, какое значение ( k ) нужно использовать для неравенства Чебышева. Обратите внимание, что ( k = 1.67 ) является максимальным по модулю из двух найденных отклонений.
Шаг 2: Применение неравенства Чебышева
Неравенство Чебышева гласит, что для любого ( k > 1 ):
[
P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]
Следовательно, вероятность того, что отклонение от среднего (в данном случае, попадание в интервал) существенно выше, составит:
[
P(|X - \mu| < k \sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}
]
Для ( k \approx 1.67 ):
[
P(|X - \mu| < 1.67 \times 9000) \geq 1 - \frac{1}{(1.67)^2}
]
Шаг 3: Вычисление ( k^2 )
Вычислим ( k^2 ):
[
(1.67)^2 \approx 2.7889
]
Теперь найдем ( \frac{1}{k^2} ):
[
\frac{1}{2.7889} \approx 0.359
]
Шаг 4: Подставляем в неравенство
Подставляя значение в неравенство Чебышева, получаем окончательную вероятность:
[
P(|X - \mu| < 1.67 \times 9000) \geq 1 - 0.359 \approx 0.641
]
Ответ
Вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 100000 руб. до 130000 руб. составляет не менее 0.641 или 64.1%.
Таким образом, вы можете быть уверены, что с вероятностью более 64% выручка магазина окажется в заданном диапазоне.
