Выручка магазина электроники и бытовой техники за день является величиной, случайно распределённой по нормальному закону. Среднее значение: 115000 руб.; среднее квадратическое…

Чтобы решить задачу о вероятности выручки магазина электроники и бытовой техники по неравенству Чебышева, давайте разберем все шаги подробно.

Дано:

• Среднее значение (математическое ожидание) выручки \( \mu = 115000 \) руб.
• Среднее квадратическое отклонение \( \sigma = 9000 \) руб.
• Мы хотим узнать вероятность того, что выручка лежит в пределах от \( 100000 \) руб. до \( 130000 \) руб.

Шаг 1: Вычисление отклонений от среднего значения

Чтобы воспользоваться неравенством Чебышева, сначала определим, насколько данные значения (100000 и 130000 руб.) отклоняются от среднего значения.

1. Для нижней границы: \[ k_1 = \frac{100000 - 115000}{9000} = \frac{-15000}{9000} \approx -1.67 \]

2. Для верхней границы: \[ k_2 = \frac{130000 - 115000}{9000} = \frac{15000}{9000} \approx 1.67 \]

Теперь найдём, какое значение \( k \) нужно использовать для неравенства Чебышева. Обратите внимание, что \( k = 1.67 \) является максимальным по модулю из двух найденных отклонений.

Шаг 2: Применение неравенства Чебышева

Неравенство Чебышева гласит, что для любого \( k > 1 \): \[ P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \] Следовательно, вероятность того, что отклонение от среднего (в данном случае, попадание в интервал) существенно выше, составит: \[ P(|X - \mu| < k \sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]

Для \( k \approx 1.67 \): \[ P(|X - \mu| < 1.67 \times 9000) \geq 1 - \frac{1}{(1.67)^2} \]

Шаг 3: Вычисление \( k^2 \)

Вычислим \( k^2 \): \[ (1.67)^2 \approx 2.7889 \] Теперь найдем \( \frac{1}{k^2} \): \[ \frac{1}{2.7889} \approx 0.359 \]

Шаг 4: Подставляем в неравенство

Подставляя значение в неравенство Чебышева, получаем окончательную вероятность: \[ P(|X - \mu| < 1.67 \times 9000) \geq 1 - 0.359 \approx 0.641 \]

Ответ

Вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 100000 руб. до 130000 руб. составляет не менее 0.641 или 64.1%.

Таким образом, вы можете быть уверены, что с вероятностью более 64% выручка магазина окажется в заданном диапазоне.