Чтобы найти объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы, начнем с определения всех параметров.
Шаг 1: Объём призмы
Объем ( V ) правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:
[
V = A \cdot h,
]
где ( A ) — площадь основания призмы, а ( h ) — высота призмы.
1.1. Площадь основания
Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник с длиной стороны ( a = 8 ) см. Площадь ( A ) равностороннего треугольника можно найти по формуле:
[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
]
Подставим значение:
[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2.
]
1.2. Подсчет объёма
Теперь используем полученную площадь для вычисления объема призмы:
[
V = A \cdot h = 16\sqrt{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{80\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3.
]
Шаг 2: Площадь поверхности призмы
Площадь поверхности ( S ) призмы складывается из площади 2 оснований и площади боковых стенок. Формула расчета площади поверхности выглядит следующим образом:
[
S = 2A + P_b \cdot h,
]
где ( P_b ) — периметр основания.
2.1. Периметр основания
Периметр ( P_b ) равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
[
P_b = 3a.
]
Подставим значение:
[
P_b = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см}.
]
2.2. Площадь боковых стенок
Площадь боковых стенок равен:
[
P_b \cdot h = 24 \cdot \frac{5}{3} = 40 \text{ см}^2.
]
2.3. Общая площадь поверхности
Теперь соберем всё вместе:
[
S = 2A + P_b \cdot h = 2 \cdot 16\sqrt{3} + 40 = 32\sqrt{3} + 40 \text{ см}^2.
]
Ответ
- Объем призмы ( V = \frac{80\sqrt{3}}{3} ) см³.
- Площадь поверхности призмы ( S = 32\sqrt{3} + 40 ) см².
Теперь вы понимаете, как вычислить объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы, используя ее параметры! Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!
