Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, высота призмы равна 5/3 см. Вычисли объём и площадь поверхности призмы.
Чтобы найти объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы, начнем с определения всех параметров.
Шаг 1: Объём призмы
Объем \( V \) правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:
\[ V = A \cdot h, \]
где \( A \) — площадь основания призмы, а \( h \) — высота призмы.
1.1. Площадь основания
Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник с длиной стороны \( a = 8 \) см. Площадь \( A \) равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]
Подставим значение:
\[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2. \]
1.2. Подсчет объёма
Теперь используем полученную площадь для вычисления объема призмы:
\[ V = A \cdot h = 16\sqrt{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{80\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3. \]
Шаг 2: Площадь поверхности призмы
Площадь поверхности \( S \) призмы складывается из площади 2 оснований и площади боковых стенок. Формула расчета площади поверхности выглядит следующим образом:
\[ S = 2A + P_b \cdot h, \]
где \( P_b \) — периметр основания.
2.1. Периметр основания
Периметр \( P_b \) равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
\[ P_b = 3a. \]
Подставим значение:
\[ P_b = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см}. \]
2.2. Площадь боковых стенок
Площадь боковых стенок равен:
\[ P_b \cdot h = 24 \cdot \frac{5}{3} = 40 \text{ см}^2. \]
2.3. Общая площадь поверхности
Теперь соберем всё вместе:
\[ S = 2A + P_b \cdot h = 2 \cdot 16\sqrt{3} + 40 = 32\sqrt{3} + 40 \text{ см}^2. \]
Ответ
- Объем призмы \( V = \frac{80\sqrt{3}}{3} \) см³.
- Площадь поверхности призмы \( S = 32\sqrt{3} + 40 \) см².
Теперь вы понимаете, как вычислить объем и площадь поверхности правильной треугольной призмы, используя ее параметры! Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!
