У вас есть мешок с 12 мячами: 5 желтых, 4 оранжевых и 3 фиолетовых. Вы случайным образом вытаскиваете один мяч. Если вытащен желтый мяч, вы выигрываете 20 рублей; за оранжевый мяч…

Для решения задачи о нахождении математического ожидания выигрыша необходимо выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Определить все возможные исходы

У нас есть 12 мячей в мешке:

• 5 желтых
• 4 оранжевых
• 3 фиолетовых

Шаг 2: Рассчитать вероятность вытащить каждый цвет мяча

Общее количество мячей:
\[ n = 5 + 4 + 3 = 12 \]

Теперь найдём вероятность того, что будет вытащен мяч каждого цвета:

1. Желтый мяч:
   \[ P(\text{желтый}) = \frac{5}{12} \]

2. Оранжевый мяч:
   \[ P(\text{оранжевый}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

3. Фиолетовый мяч:
   \[ P(\text{фиолетовый}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Шаг 3: Определить выигрыш для каждого цвета мяча

• За желтый мяч: 20 рублей
• За оранжевый мяч: 40 рублей
• За фиолетовый мяч: 60 рублей

Шаг 4: Рассчитать математическое ожидание

Математическое ожидание (E) вычисляется по формуле:
\[ E = P_1 \cdot W_1 + P_2 \cdot W_2 + P_3 \cdot W_3 \]

где \( P_1, P_2, P_3 \) — вероятности, а \( W_1, W_2, W_3 \) — выигрыши, соответственно.

Подставим известные значения:
\[ E = P(\text{желтый}) \cdot W(\text{желтый}) + P(\text{оранжевый}) \cdot W(\text{оранжевый}) + P(\text{фиолетовый}) \cdot W(\text{фиолетовый}) \]

\[ E = \left(\frac{5}{12} \cdot 20\right) + \left(\frac{4}{12} \cdot 40\right) + \left(\frac{3}{12} \cdot 60\right) \]

Теперь посчитаем каждое слагаемое:

• Для желтого мяча:
  \[ \frac{5}{12} \cdot 20 = \frac{100}{12} \approx 8.33 \]

• Для оранжевого мяча:
  \[ \frac{4}{12} \cdot 40 = \frac{160}{12} \approx 13.33 \]

• Для фиолетового мяча:
  \[ \frac{3}{12} \cdot 60 = \frac{180}{12} = 15 \]

Шаг 5: Сложить все слагаемые

Теперь сложим все найденные значения: \[ E = 8.33 + 13.33 + 15 = 36.66 \]

Ответ

Математическое ожидание выигрыша составляет примерно 36.67 рублей.

Таким образом, при случайном вытаскивании мяча из мешка, вы в среднем можете ожидать выигрыш около 36.67 рублей.