Для решения задачи о нахождении математического ожидания выигрыша необходимо выполнить следующие шаги.
Шаг 1: Определить все возможные исходы
У нас есть 12 мячей в мешке:
- 5 желтых
- 4 оранжевых
- 3 фиолетовых
Шаг 2: Рассчитать вероятность вытащить каждый цвет мяча
Общее количество мячей:
[
n = 5 + 4 + 3 = 12
]
Теперь найдём вероятность того, что будет вытащен мяч каждого цвета:
Желтый мяч:
[
P(\text{желтый}) = \frac{5}{12}
]
Оранжевый мяч:
[
P(\text{оранжевый}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
]
Фиолетовый мяч:
[
P(\text{фиолетовый}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}
]
Шаг 3: Определить выигрыш для каждого цвета мяча
- За желтый мяч: 20 рублей
- За оранжевый мяч: 40 рублей
- За фиолетовый мяч: 60 рублей
Шаг 4: Рассчитать математическое ожидание
Математическое ожидание (E) вычисляется по формуле:
[
E = P_1 \cdot W_1 + P_2 \cdot W_2 + P_3 \cdot W_3
]
где ( P_1, P_2, P_3 ) — вероятности, а ( W_1, W_2, W_3 ) — выигрыши, соответственно.
Подставим известные значения:
[
E = P(\text{желтый}) \cdot W(\text{желтый}) + P(\text{оранжевый}) \cdot W(\text{оранжевый}) + P(\text{фиолетовый}) \cdot W(\text{фиолетовый})
]
[
E = \left(\frac{5}{12} \cdot 20\right) + \left(\frac{4}{12} \cdot 40\right) + \left(\frac{3}{12} \cdot 60\right)
]
Теперь посчитаем каждое слагаемое:
Для желтого мяча:
[
\frac{5}{12} \cdot 20 = \frac{100}{12} \approx 8.33
]
Для оранжевого мяча:
[
\frac{4}{12} \cdot 40 = \frac{160}{12} \approx 13.33
]
Для фиолетового мяча:
[
\frac{3}{12} \cdot 60 = \frac{180}{12} = 15
]
Шаг 5: Сложить все слагаемые
Теперь сложим все найденные значения:
[
E = 8.33 + 13.33 + 15 = 36.66
]
Ответ
Математическое ожидание выигрыша составляет примерно 36.67 рублей.
Таким образом, при случайном вытаскивании мяча из мешка, вы в среднем можете ожидать выигрыш около 36.67 рублей.
