Постройте график функции y=x²-4x-5. Найдите с помощью графика: а) значение y, при x=0,5 б) значение x, при которых y=3 в) промежутки знакопостоянства г) промежуток, в котором…

Чтобы построить график функции \( y = x^2 - 4x - 5 \) и выполнить указанные задания, следуем пошагово:

Шаг 1: Построение графика функции

1. Найти координаты вершинного пункта параболы. Формула для нахождения координат вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) вида \[ x = -\frac{b}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \) и \( c = -5 \): \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Подставляем \( x = 2 \) в функцию для нахождения \( y \): \[ y = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Вершина параболы находится в точке \( (2, -9) \).

2. Найти пересечения с осью X (корни уравнения). Для нахождения корней уравнения \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] Таким образом, корни \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).

3. Найти пересечение с осью Y. Подставляем \( x = 0 \) в функцию: \[ y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5 \] Точка пересечения с осью Y: \( (0, -5) \).

Теперь у нас есть необходимые координаты: вершина \( (2, -9) \), пересечения с осью X в точках \( (-1, 0) \) и \( (5, 0) \), а также пересечение с осью Y в точке \( (0, -5) \).

Шаг 2: Построение графика

График функции будет выглядеть как парабола, открывающаяся вверх. На основании собранной информации, можно провести оси координат и отметить найденные точки.

Шаг 3: Ответы на вопросы

а) Значение \( y \), при \( x = 0.5 \): Подставляем в функцию: \[ y(0.5) = (0.5)^2 - 4 \cdot 0.5 - 5 = 0.25 - 2 - 5 = -6.75 \] Так что \( y(0.5) = -6.75 \).

б) Значение \( x \), при которых \( y = 3 \): Решаем уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 3 \implies x^2 - 4x - 8 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48 \] Корни: \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{48}}{2} \approx 6.464, \quad x_2 = \frac{4 - \sqrt{48}}{2} \approx -2.464 \]

в) Промежутки знакопостоянства: Функция \( y = x^2 - 4x - 5 \) принимает отрицательные значения на промежутке \( (-\infty, -1) \) и \( (-1, 5) \) и положительные на промежутке \( (5, +\infty) \).

г) Промежуток, в котором функция возрастает: Функция возрастает на промежутке \( (2, +\infty) \).

Итоговые ответы:

• а) \( y(0.5) = -6.75 \)
• б) \( x \approx 6.464 \) и \( x \approx -2.464 \)
• в) Знакосмена на \( (-\infty, -1) \) и \( (5, +\infty) \)
• г) Функция возрастает на \( (2, +\infty) \)