Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,7. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Шахматисты А и Б…
Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б с вероятностью 0,7. Если А играет чёрными, то он выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Шахматисты А и Б играют одну партию, причём цвет фигур определяется с помощью бросания симметричного игрального кубика. Если выпадет цифра 6, то белыми играет Б, иначе белыми играет А. Найдите вероятность того, что выиграет шахматист Б.
Для решения этой задачи будем использовать закон сложения вероятностей и данные о шансах выигрыша для каждого шахматиста в зависимости от цвета фигур.
Шаг 1: Определяем вероятности выигрыша для шахматиста Б.
Шахматист А играет белыми фигурами:
- Вероятность выигрыша А: \( P(A \text{ победит | A белыми}) = 0,7 \)
- Таким образом, вероятность выигрыша шахматиста Б в этой ситуации:
\[ P(B \text{ победит | A белыми}) = 1 - P(A \text{ победит | A белыми}) = 1 - 0,7 = 0,3 \]
Шахматист А играет черными фигурами:
- Вероятность выигрыша А: \( P(A \text{ победит | A черными}) = 0,4 \)
- Тогда вероятность выигрыша Б:
\[ P(B \text{ победит | A черными}) = 1 - P(A \text{ победит | A черными}) = 1 - 0,4 = 0,6 \]
Шаг 2: Рассчитываем вероятности распределения цветов фигур.
Цвет фигуры определяется бросанием кубика:
- Если выпадает 6 (1 из 6 случаев), то белыми играет шахматист Б. То есть:
\[ P(B \text{ белыми}) = \frac{1}{6} \] - Во всех остальных случаях (5 из 6 случаев) белыми играет шахматист А:
\[ P(A \text{ белыми}) = \frac{5}{6} \]
Шаг 3: Находим общую вероятность выигрыша Б.
Теперь мы можем найти полную вероятность выигрыша Б, используя форму. Для этого сложим вероятности выигрыша Б в двух случаях:
Когда А играет белыми:
\[ P(B \text{ выиграет}) = P(B \text{ выиграет | A белыми}) \times P(A \text{ белыми}) = 0,3 \times \frac{5}{6} \]Когда А играет черными:
\[ P(B \text{ выиграет}) = P(B \text{ выиграет | A черными}) \times P(A \text{ черными}) = 0,6 \times \frac{1}{6} \]
Теперь суммируем эти вероятности: \[ P(B \text{ выиграет}) = \left(0,3 \times \frac{5}{6}\right) + \left(0,6 \times \frac{1}{6}\right) \] \[ = \frac{1,5}{6} + \frac{0,6}{6} = \frac{1,5 + 0,6}{6} = \frac{2,1}{6} \]
Шаг 4: Упрощаем результат. \[ \frac{2,1}{6} \approx 0,35 \]
Таким образом, вероятность того, что выиграет шахматист Б, составляет примерно 0,35 или 35%.
