минимальное значение х²+у², если х²-у²+6х+4у+5=0, равно
Для нахождения минимального значения функции \(x^2 + y^2\) при условии, что \(x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0\), начнем с преобразования уравнения.
Перемещаем все элементы уравнения в одну сторону: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \implies x^2 - y^2 + 6x + 4y = -5 \]
Рассмотрим исходное уравнение и выделим полные квадраты для \(x\) и \(y\).
Мы можем записать:
- \(x^2 + 6x\) можно представить как \((x + 3)^2 - 9\).
- \(y^2 - 4y\) можно представить как \((y - 2)^2 - 4\).
Подставим это в уравнение: \[ (x + 3)^2 - 9 - ((y - 2)^2 - 4) = -5 \] Упростим: \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 - 5 = -5 \implies (x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0 \]
Решим полученное уравнение: Уравнение \((x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0\) означает, что \((x + 3) = (y - 2)\) или \((x + 3) = -(y - 2)\).
Рассмотрим оба случая:
- Случай 1: \(x + 3 = y - 2 \implies y = x + 5\)
- Случай 2: \(x + 3 = -(y - 2) \implies y = -x - 1\)
Подставим эти зависимости в \(x^2 + y^2\) и найдем минимум.
Случай 1: \(y = x + 5\) \[ x^2 + y^2 = x^2 + (x + 5)^2 = x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 10x + 25 \] Найдем минимум этой функции: \[ f(x) = 2x^2 + 10x + 25 \] Используя формулу нахождения минимума квадратичной функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(x_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5\).
Подставим \(x = -2.5\): \[ y = -2.5 + 5 = 2.5 \] Подставим \(x\) и \(y\) в \(x^2 + y^2\): \[ x^2 + y^2 = (-2.5)^2 + (2.5)^2 = 6.25 + 6.25 = 12.5 \]
Случай 2: \(y = -x - 1\) \[ x^2 + y^2 = x^2 + (-x - 1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1 \] Найдем минимум: \[ f(x) = 2x^2 + 2x + 1 \] Находим вершину: \[ x_{\text{min}} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5 \] Подставим \(x = -0.5\): \[ y = -(-0.5) - 1 = -0.5 \] Подставим \(x\) и \(y\) в \(x^2 + y^2\): \[ x^2 + y^2 = (-0.5)^2 + (-0.5)^2 = 0.25 + 0.25 = 0.5 \]
Сравниваем минимумы: У нас есть два значения: \(12.5\) и \(0.5\). Минимальное значение \(x^2 + y^2\) равно \(0.5\).
Таким образом, минимальное значение \(x^2 + y^2\) равно 0.5.
