Давай разберём это уравнение шаг за шагом:
Дано уравнение:
[ 81x^2 + 36x + 4 = (x - 81)^2 ]
Первой задачей будет раскрыть правую часть уравнения:
[ (x - 81)^2 = x^2 - 2 \cdot 81 \cdot x + 81^2 = x^2 - 162x + 6561 ]
Теперь мы имеем уравнение:
[ 81x^2 + 36x + 4 = x^2 - 162x + 6561 ]
Переносим все члены из правой части в левую:
[ 81x^2 + 36x + 4 - x^2 + 162x - 6561 = 0 ]
Упрощаем уравнение:
[ 80x^2 + 198x - 6557 = 0 ]
Это квадратное уравнение. Чтобы его решить, используем дискриминант:
Формула дискриминанта: ( D = b^2 - 4ac )
Где:
- ( a = 80 )
- ( b = 198 )
- ( c = -6557 )
Подставляем значения:
[ D = 198^2 - 4 \cdot 80 \cdot (-6557) ]
[ D = 39204 + 2098240 ]
[ D = 2137444 ]
Так как дискриминант положительный, у этого уравнения есть два корня. Посчитаем их:
Формула для корней квадратного уравнения:
[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставляем значения:
[ x_{1,2} = \frac{-198 \pm \sqrt{2137444}}{160} ]
Теперь вычисляем корни:
[ x_1 = \frac{-198 + 1462}{160} = 7.9 ]
[ x_2 = \frac{-198 - 1462}{160} = -10.375 ]
Ответы:
[ x = 7.9 \quad \text{или} \quad x = -10.375 ]
Таким образом, пропуски можно заполнить значениями чисел ( 7.9 ) и (-10.375).
