1.Напиши логическое выражение для функции F(A,B,C)=¬A∧(B∨C) и построй таблицу истинности для данной функции. 2.Преобразуй следующее логическое выражение в дизъюнктивную нормальную форму: F(A,B,C)=(A→B)∧(B→C)∧(C→A). 3.Преобразуй следующее логическое выражение в конъюнктивную нормальную форму: F(A,B,C)=(A∨B)→(¬A∨¬B∨C). 4.Найди контрпример  для следующего логического выражения: F(A,B)=(A∧¬B)∨(¬A∧B). 5.Дано логическое выражение F(A,B,C)=(A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C). Проверь, является ли оно тавтологией, используя таблицу истинности. 6.Найди эквивалентное выражение для F(A,B)=¬(A→B) и приведи его к дизъюнктивной нормальной форме. 7.Дано логическое выражение F(A,B,C)=(A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧¬C). Построй таблицу истинности и определи, является ли данное выражение совершенной дизъюнкцией . 8.Найди контрпримеры для следующих логических выражений: F1(A,B)=A→(B→A) и F2(A,B)=¬A→(A→B). 9.Дано логическое выражение F(A,B,C)=(A→B)∧(B→C)∧(C→A). Проверь, является ли данное выражение тавтологией, используя таблицу истинности. 10.Найди эквивалентное выражение для F(A,B,C)=¬(A∧¬B∧C) и приведи его к конъюнктивной нормальной форме.

Давайте пошагово разберем каждую из заданных задач. ### Задача 1 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = ¬A ∧ (B ∨ C) **Таблица истинности:** Чтобы построить таблицу истинности, перечислим все возможные комбинации значений A, B и C (всего 8 комбинаций, так как каждая переменная может принимать значения 0 или 1). | A | B | C | ¬A | B ∨ C | F(A, B, C) | |---|---|---|----|-------|------------| | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ### Задача 2 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = (A → B) ∧ (B → C) ∧ (C → A) Сначала преобразуем импликации в дизъюнкции: - A → B = ¬A ∨ B - B → C = ¬B ∨ C - C → A = ¬C ∨ A Теперь substitute: F(A, B, C) = (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C) ∧ (¬C ∨ A) Формула уже находится в дизъюнктивной нормальной форме. ### Задача 3 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = (A ∨ B) → (¬A ∨ ¬B ∨ C) Применяем преобразование: (A ∨ B) → (¬A ∨ ¬B ∨ C) = ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∨ ¬B ∨ C) = (¬A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ ¬B ∨ C) Теперь получаем конъюнктивную нормальную форму: F(A, B, C) = (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ C). ### Задача 4 **Логическое выражение:** F(A, B) = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) Это выражение является логическим исключающим ИЛИ (XOR), которое истина, когда только одна из переменных истинна. Контрпримером будет пара (1,1), где обе переменные истинны. - F(1, 1) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0. ### Задача 5 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) Построим таблицу истинности: | A | B | C | F(A, B, C) | |---|---|---|------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | Поскольку выражение не истинно для всех комбинаций значений A, B и C, то оно **не является тавтологией**. ### Задача 6 **Логическое выражение:** F(A, B) = ¬(A → B) Используя преобразование: A → B = ¬A ∨ B, следовательно ¬(A → B) = ¬(¬A ∨ B) = A ∧ ¬B. Получаем: F(A, B) = A ∧ ¬B, что находится в дизъюнктивной нормальной форме. ### Задача 7 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C) Построим таблицу истинности: | A | B | C | F(A, B, C) | |---|---|---|------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | В данном случае выражение **не является совершенной дизъюнкцией**, так как оно не принимает значение 1 для всех комбинаций переменных. ### Задача 8 **Логическое выражение:** 1. F1(A, B) = A → (B → A) 2. F2(A, B) = ¬A → (A → B) Контрпримеры: - Для F1: Если A=0, B=1, тогда F1(0, 1) = 0 (т.к. A=0). - Для F2: Если A=1, B=0, тогда F2(1, 0) = 0 (т.к. ¬A=0). ### Задача 9 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = (A → B) ∧ (B → C) ∧ (C → A) Как и ранее, преобразуем: F(A, B, C) = (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C) ∧ (¬C ∨ A) Теперь нужно проверить на истинность для всех значений: | A | B | C | F(A, B, C) | |---|---|---|------------| | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | Поскольку выражение не истинно для всех комбинаций, оно **не является тавтологией**. ### Задача 10 **Логическое выражение:** F(A, B, C) = ¬(A ∧ ¬B ∧ C) Сначала применим закон де Моргана: ¬(A ∧ ¬B ∧ C) = ¬A ∨ B ∨ ¬C. Теперь данное выражение является конъюнктивной нормальной формой, так как это дизъюнкция (`∨`) переменных. Если есть дополнительные вопросы или нужна более глубокая проработка какого-то задания, дайте знать!