2. Маше, Кате и Лене поручили выучить 3 стихотворения. Девочки решили распределить их между собой по одному. Сколько вариантов это сделать у них есть? 3. Бургер можно составить из…

Давайте разберем каждую задачу по отдельности с подробными объяснениями.

Задача 2

Условие: Маше, Кате и Лене поручили выучить 3 стихотворения. Девочки решили распределить их между собой по одному. Сколько вариантов это сделать у них есть?

Решение:

1. Первая девочка (например, Маша) может выбрать любое из трех стихотворений. У нее есть 3 варианта.
2. После того как Маша выбрала одно стихотворение, остались 2 стихотворения для Кати. Катя может выбрать одно из оставшихся 2 стихотворений, то есть у нее 2 варианта.
3. Наконец, Лена возьмет оставшееся стихотворение, у нее будет 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов распределения стихотворений, перемножим количества вариантов на каждом шаге: \[ 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Таким образом, существует 6 различных способов распределить стихотворения между Машей, Катей и Леной.

Задача 3

Условие: Бургер можно составить из белой булочки или булочки с кунжутом, говяжьей, рыбной котлеты или куриной отбивной и соуса: кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный. Сколько вариантов бургера можно сделать?

Решение:

1. Выбор булочки:

   • 2 варианта (белая или с кунжутом)

2. Выбор котлеты:

   • 3 варианта (говяжья, рыбная, куриная)

3. Выбор соуса:

   • 4 варианта (кетчуп, провансаль, горчичный, чесночный)

Теперь мы перемножим количество вариантов для каждого элемента бургера: \[ 2 (булочки) \times 3 (котлеты) \times 4 (соусы) = 24 \]

Таким образом, можно составить 24 различных варианта бургера.

Задача 4

Условие: Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»?

Решение: Слово «книга» состоит из 6 букв, среди которых буква «к» повторяется 1 раз, буква «г» - 1 раз, буква «и» - 1 раз, буква «н» - 1 раз, буква «а» - 1 раз. Все буквы уникальны.

Чтобы найти количество различных последовательностей, мы используем формулу для перестановок: \[ \frac{n!}{k1! \times k2! \times \ldots \times kr!} \] где:

• n - общее количество элементов,
• k1, k2, ..., kr - количество повторений каждого уникального элемента.

В нашем случае: \[ n = 6, \quad k1 = k2 = k3 = k4 = k5 = 1 \] Следовательно: \[ \frac{6!}{1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!} = 6! = 720 \]

Таким образом, из букв слова «книга» можно составить 720 различных последовательностей.

Задача 5

Условие: Найдите значение \( \frac{10!}{5! 3!} \).

Решение: Рассмотрим формулу комбинаций, так как это выражение является основой для вычисления количества способов выбора группы объектов: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где n - общее количество объектов, k - количество выбираемых объектов.

В данной задаче мы можем видеть 10 объектов, из которых мы выбираем 5. Значение \( 3! \) указывает на количество оставшихся объектов, так как \( 10 - 5 = 5 \).

Подставляем значения: \[ \frac{10!}{5! \cdot 3!} = \frac{10!}{5! \cdot (10 - 5)!} = C(10, 5) \]

Теперь найдем значение:

1. Вычислим \( 10! = 3628800 \)
2. Вычислим \( 5! = 120 \)
3. Вычислим \( 3! = 6 \)

Таким образом, подставим значения в исходное выражение: \[ \frac{3628800}{120 \cdot 6} = \frac{3628800}{720} = 5040 \]

Ответ: \( \frac{10!}{5! \cdot 3!} = 5040 \).

Подведем итог:

1. 6 способов распределения стихотворений.
2. 24 варианта бургера.
3. 720 различных последовательностей из букв слова «книга».
4. Значение \( \frac{10!}{5! \cdot 3!} = 5040 \).