Давайте разберем каждую задачу по отдельности с подробными объяснениями.
Задача 2
Условие: Маше, Кате и Лене поручили выучить 3 стихотворения. Девочки решили распределить их между собой по одному. Сколько вариантов это сделать у них есть?
Решение:
- Первая девочка (например, Маша) может выбрать любое из трех стихотворений. У нее есть 3 варианта.
- После того как Маша выбрала одно стихотворение, остались 2 стихотворения для Кати. Катя может выбрать одно из оставшихся 2 стихотворений, то есть у нее 2 варианта.
- Наконец, Лена возьмет оставшееся стихотворение, у нее будет 1 вариант.
Чтобы найти общее количество способов распределения стихотворений, перемножим количества вариантов на каждом шаге:
[
3 \times 2 \times 1 = 6
]
Таким образом, существует 6 различных способов распределить стихотворения между Машей, Катей и Леной.
Задача 3
Условие: Бургер можно составить из белой булочки или булочки с кунжутом, говяжьей, рыбной котлеты или куриной отбивной и соуса: кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный. Сколько вариантов бургера можно сделать?
Решение:
Выбор булочки:
- 2 варианта (белая или с кунжутом)
Выбор котлеты:
- 3 варианта (говяжья, рыбная, куриная)
Выбор соуса:
- 4 варианта (кетчуп, провансаль, горчичный, чесночный)
Теперь мы перемножим количество вариантов для каждого элемента бургера:
[
2 (булочки) \times 3 (котлеты) \times 4 (соусы) = 24
]
Таким образом, можно составить 24 различных варианта бургера.
Задача 4
Условие: Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»?
Решение:
Слово «книга» состоит из 6 букв, среди которых буква «к» повторяется 1 раз, буква «г» - 1 раз, буква «и» - 1 раз, буква «н» - 1 раз, буква «а» - 1 раз. Все буквы уникальны.
Чтобы найти количество различных последовательностей, мы используем формулу для перестановок:
[
\frac{n!}{k1! \times k2! \times \ldots \times kr!}
]
где:
- n - общее количество элементов,
- k1, k2, ..., kr - количество повторений каждого уникального элемента.
В нашем случае:
[
n = 6, \quad k1 = k2 = k3 = k4 = k5 = 1
]
Следовательно:
[
\frac{6!}{1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!} = 6! = 720
]
Таким образом, из букв слова «книга» можно составить 720 различных последовательностей.
Задача 5
Условие: Найдите значение ( \frac{10!}{5! 3!} ).
Решение:
Рассмотрим формулу комбинаций, так как это выражение является основой для вычисления количества способов выбора группы объектов:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где n - общее количество объектов, k - количество выбираемых объектов.
В данной задаче мы можем видеть 10 объектов, из которых мы выбираем 5. Значение ( 3! ) указывает на количество оставшихся объектов, так как ( 10 - 5 = 5 ).
Подставляем значения:
[
\frac{10!}{5! \cdot 3!} = \frac{10!}{5! \cdot (10 - 5)!} = C(10, 5)
]
Теперь найдем значение:
- Вычислим ( 10! = 3628800 )
- Вычислим ( 5! = 120 )
- Вычислим ( 3! = 6 )
Таким образом, подставим значения в исходное выражение:
[
\frac{3628800}{120 \cdot 6} = \frac{3628800}{720} = 5040
]
Ответ: ( \frac{10!}{5! \cdot 3!} = 5040 ).
Подведем итог:
- 6 способов распределения стихотворений.
- 24 варианта бургера.
- 720 различных последовательностей из букв слова «книга».
- Значение ( \frac{10!}{5! \cdot 3!} = 5040 ).
