Для решения задачи, давайте обозначим два числа как ( x ) и ( y ). Нам известно, что:
Сумма чисел равна 432:
[
x + y = 432
]
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел равен 48:
[
\text{НОД}(x, y) = 48
]
Так как НОД двух чисел равен 48, это означает, что каждое из чисел можно представить в виде:
[
x = 48a \quad \text{и} \quad y = 48b
]
где ( a ) и ( b ) — целые числа, не имеющие общих делителей (в частности, пусть НОД(a, b) = 1).
Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение суммы:
[
48a + 48b = 432
]
Выделим 48 из уравнения:
[
48(a + b) = 432
]
Теперь разделим обе стороны на 48:
[
a + b = \frac{432}{48} = 9
]
Таким образом, нам нужно найти такие целые положительные числа ( a ) и ( b ), которые в сумме дают 9 и при этом НОД(a, b) = 1.
Рассмотрим возможные пары (a, b):
- (1, 8): НОД(1, 8) = 1
- (2, 7): НОД(2, 7) = 1
- (3, 6): НОД(3, 6) = 3 (не подходит)
- (4, 5): НОД(4, 5) = 1
Пары, соответствующие условиям, — это (1, 8), (2, 7) и (4, 5).
Теперь находим соответствующие числа ( x ) и ( y ) для каждой пары:
Для пары ( (1, 8) ):
[
x = 48 \cdot 1 = 48, \quad y = 48 \cdot 8 = 384
]
Для пары ( (2, 7) ):
[
x = 48 \cdot 2 = 96, \quad y = 48 \cdot 7 = 336
]
Для пары ( (4, 5) ):
[
x = 48 \cdot 4 = 192, \quad y = 48 \cdot 5 = 240
]
Итак, у нас есть три решения:
- (48, 384)
- (96, 336)
- (192, 240)
Теперь можем записать ответ: возможные пары чисел, сумма которых равна 432, а НОД равен 48, это:
- 48 и 384
- 96 и 336
- 192 и 240
