Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи будем использовать свойства квадратичной функции и заданные данные.
Пусть \( x \) — это ставка налога на продажу сапогов-скороходов (в процентах), а \( f(x) \) — это функция, описывающая поступления в бюджет (в миллиардах фантиков).
Мы знаем, что \( f(x) \) является квадратичной функцией и может быть представлена в виде: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a \), \( b \), и \( c \) — некоторые коэффициенты.
Из условия задачи имеем следующие точки:
- \( f(10) = 1.3 \)
- \( f(33) = 1.3 \)
- \( f(27) = 1.6 \)
С этими данными сформируем систему уравнений.
Шаг 1: Составим уравнения.
Подставляя значения в функцию \( f(x) \), получим:
\( a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \) \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \]
\( a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \) \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \]
\( a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \) \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений, но она содержит три переменные \( a \), \( b \), и \( c \).
Шаг 2: Упростим систему, устранив \( c \).
Вычтем уравнение (1) из (2) и (3):
Из (2) - (1): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Из (3) - (1): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Шаг 3: Решим систему уравнений (4) и (5).
Из (4) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} a \quad (6) \]
Подставим (6) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Умножим на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 14467a - 16703a = 6.9 \] \[ -2236a = 6.9 \implies a \approx -0.00309 \]
Теперь подставим значение \( a \) в (6) для нахождения \( b \): \[ b = -\frac{989}{23} \cdot (-0.00309) \approx 0.1341 \]
Теперь подставляем значения \( a \) и \( b \) в (1) для нахождения \( c \): \[ 100(-0.00309) + 10(0.1341) + c = 1.3 \] \[ -0.309 + 1.341 + c = 1.3 \implies c \approx 0.268 \]
Теперь мы имеем: \[ f(x) = -0.00309x^2 + 0.1341x + 0.268 \]
Шаг 4: Найдём максимум функции.
Квадратичная функция достигает максимума в вершине параболы. Формула для нахождения \( x \) вершины: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.1341}{2 \cdot (-0.00309)} \approx 21.7 \]
Таким образом, оптимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов для максимальных поступлений в бюджет Тридевятого царства составляет примерно 21.7%.
