x+y+z=7, x+y−z=5, x−y+z=3.
Для решения системы уравнений
- \( x + y + z = 7 \)
- \( x + y - z = 5 \)
- \( x - y + z = 3 \)
мы можем использовать метод последовательного исключения или алгебры. Давайте рассмотрим решение шаг за шагом.
Шаг 1: Выразим \( z \) из первых двух уравнений.
Из первого уравнения \( x + y + z = 7 \) мы можем выразить \( z \): \[ z = 7 - x - y \]
Теперь подставим \( z \) во второе уравнение \( x + y - z = 5 \): \[ x + y - (7 - x - y) = 5 \] Упростим это уравнение: \[ x + y - 7 + x + y = 5 \] \[ 2x + 2y - 7 = 5 \] Добавим 7 к обеим сторонам: \[ 2x + 2y = 12 \] Разделим обе стороны на 2: \[ x + y = 6 \quad (4) \]
Шаг 2: Теперь подставим \( x + y \) из уравнения (4) в выражение для \( z \): \[ z = 7 - (x + y) = 7 - 6 = 1 \]
Теперь мы знаем, что \( z = 1 \). Теперь можем подставить \( z \) в третье уравнение для нахождения \( x \) и \( y \): \[ x - y + z = 3 \quad \Rightarrow \quad x - y + 1 = 3 \] Упростим: \[ x - y = 3 - 1 = 2 \quad (5) \]
Шаг 3: У нас теперь два уравнения — уравнение (4) и уравнение (5):
- \( x + y = 6 \)
- \( x - y = 2 \)
Теперь решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = 6 + 2 \] \[ 2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \]
Теперь подставим \( x \) обратно в уравнение (4): \[ 4 + y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \]
Итак, мы нашли значения переменных:
- \( x = 4 \)
- \( y = 2 \)
- \( z = 1 \)
Ответ: \( x = 4, y = 2, z = 1 \)
Это означает, что при данных значениях переменных все начальные уравнения выполняются. Вы можете проверить это, подставив значения обратно в оригинальные уравнения.
