. Разложите на множители: (7x+4)^ 3 +( 4x + 7y ^ 3 2. Раскройте скобки: (6d + 4) ^ 2 3. Представьте в виде многочлена (6x + 5g ^ 2)(6x - 5g ^ 2) 4. Найдите значение выражения (x +…

Решим каждую задачу по порядку и объясним, как мы пришли к итоговым результатам.

Задача 1: Разложите на множители \( (7x + 4)^3 + (4x + 7)^3 \)

Это выражение можно представить в форме суммы кубов:

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

где \( a = 7x + 4 \) и \( b = 4x + 7 \).

Теперь определим \( a + b \) и \( ab \):

1. \( a + b = (7x + 4) + (4x + 7) = 11x + 11 = 11(x + 1) \)
2. \( ab = (7x + 4)(4x + 7) \). Для нахождения \( ab \) распишем: \[ ab = 7x \cdot 4x + 7x \cdot 7 + 4 \cdot 4x + 4 \cdot 7 = 28x^2 + 49x + 16x + 28 = 28x^2 + 65x + 28 \]

Теперь подставим в формулу суммы кубов:

\[ (7x + 4)^3 + (4x + 7)^3 = (11(x + 1))\left(((7x + 4)^2 - (ab) + (4x + 7)^2)\right) \]

Сначала найдем \( (7x + 4)^2 + (4x + 7)^2 \): \[ (7x + 4)^2 = 49x^2 + 56x + 16 \] \[ (4x + 7)^2 = 16x^2 + 56x + 49 \] Сложим их: \[ (49x^2 + 56x + 16 + 16x^2 + 56x + 49) = 65x^2 + 112x + 65 \]

Теперь подставим все в формулу:

\[ (7x + 4)^3 + (4x + 7)^3 = 11(x + 1)\left(65x^2 + 112x + 65 - (28x^2 + 65x + 28)\right) \]

Упростим:

\[ = 11(x + 1)(37x^2 + 47x + 37) \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ (7x + 4)^3 + (4x + 7)^3 = 11(x + 1)(37x^2 + 47x + 37) \]

---

Задача 2: Раскройте скобки \( (6d + 4)^2 \)

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Здесь \( a = 6d \) и \( b = 4 \).

Подставим:

1. \( a^2 = (6d)^2 = 36d^2 \)
2. \( 2ab = 2 \cdot 6d \cdot 4 = 48d \)
3. \( b^2 = 4^2 = 16 \)

Теперь сложим все части:

\[ (6d + 4)^2 = 36d^2 + 48d + 16 \]

---

Задача 3: Представьте в виде многочлена \( (6x + 5g^2)(6x - 5g^2) \)

Это выражение - разность квадратов, которая имеет вид:

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

В нашем случае \( a = 6x \) и \( b = 5g^2 \).

Теперь найдем:

1. \( a^2 = (6x)^2 = 36x^2 \)
2. \( b^2 = (5g^2)^2 = 25g^4 \)

Теперь подставим:

\[ (6x + 5g^2)(6x - 5g^2) = a^2 - b^2 = 36x^2 - 25g^4 \]

---

Задача 4: Найдите значение выражения \( (x + 3)(-x - 3) + 3(2x - 9) \) при \( x = -9 \)

Сначала подставим значение \( x = -9 \):

\[ (-9 + 3)(-(-9) - 3) + 3(2(-9) - 9) \]

Посчитаем по шагам:

1. \( -9 + 3 = -6 \)
2. \( -(-9) - 3 = 9 - 3 = 6 \)
3. \( (x + 3)(-x - 3) = -6 \cdot 6 = -36 \)

Теперь найдем вторую часть:

\[ 2(-9) - 9 = -18 - 9 = -27 \] \[ 3(-27) = -81 \]

Итак, всё вместе:

\[ -36 - 81 = -117 \]

---

Задача 5: Разложите на множители \( 125 + 27k^3 \)

Это также сумма кубов, так как можно представит как:

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

где \( a = 5 \) и \( b = 3k \).

Теперь подставим:

1. \( a + b = 5 + 3k \)
2. \( a^2 = 25 \)
3. \( b^2 = 9k^2 \)
4. \( ab = 15k \)

Теперь подставим в формулу:

\[ 125 + 27k^3 = (5 + 3k)(25 - 15k + 9k^2) \]

---

Задача 6: Найдите значение выражения \( (1 + p)^2 + (9 - p)(9 + p) \) при \( p = \frac{1}{2} \)

Сначала подставим \( p = \frac{1}{2} \):

1. \( (1 + \frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)
2. \( (9 - \frac{1}{2})(9 + \frac{1}{2}) = (8.5)(9.5) = \frac{17}{2}\cdot\frac{19}{2} = \frac{161}{4} \)

Теперь сложим:

\[ \frac{9}{4} + \frac{161}{4} = \frac{170}{4} = \frac{85}{2} \]

---

Задача 7: Представьте в виде многочлена \( (mf + 2)(m^2f^2 - 2mf + 4) \)

Раскроем скобки, применяя распределительный закон:

\[ mf(m^2f^2) + mf(-2mf) + mf(4) + 2(m^2f^2) + 2(-2mf) + 2(4) \]

Теперь вычислим каждую часть:

1. \( mf \cdot m^2f^2 = m^3f^3 \)
2. \( -2m^2f^2 \cdot mf = -2m^2f^2 \)
3. \( mf \cdot 4 = 4mf \)
4. \( 2 \cdot m^2f^2 = 2m^2f^2 \)
5. \( 2 \cdot -2mf = -4mf \)
6. \( 2 \cdot 4 = 8 \)

Теперь все вместе:

\[ m^3f^3 + (-2m^2f^2 + 2m^2f^2) + (4mf - 4mf) + 8 = m^3f^3 + 8 \]

---

Задача 8: Раскройте скобки и приведите подобные \( -5(3a - 8) - (3a + 3)^2 \)

Сначала раскроем:

1. \( -5(3a - 8) = -15a + 40 \)

Теперь раскроем вторую часть \( (3a + 3)^2 = 9a^2 + 18a + 9 \) тогда:

\[ -(9a^2 + 18a + 9) \]

Таким образом:

\[ -5(3a - 8) - (3a + 3)^2 = -15a + 40 - 9a^2 - 18a - 9 \]

Теперь объединим подобные:

\[ -9a^2 + (-15a - 18a) + (40 - 9) = -9a^2 - 33a + 31 \]

---

Задача 9: Найдите значение выражения \( (-k - 9)(k - 9) + k(k - 4) \) при \( k = -\frac{5}{4} \)

Подставим \( k = -\frac{5}{4} \):

\[ \left(-\left(-\frac{5}{4}\right) - 9\right)\left(-\frac{5}{4} - 9\right) + \left(-\frac{5}{4}\right)\left(-\frac{5}{4} - 4\right) \]

1. \( -(-\frac{5}{4}) - 9 = \frac{5}{4} - 9 = \frac{5}{4} - \frac{36}{4} = -\frac{31}{4} \)
2. \( k - 9 = -\frac{5}{4} - 9 = -\frac{5}{4} - \frac{36}{4} = -\frac{41}{4} \)

Теперь первая часть:

\((-(-\frac{31}{4}) \cdot (-\frac{41}{4}) = -\frac{31}{4} \cdot -\frac{41}{4} = \frac{1271}{16}\)

Теперь вторая часть:

\(k(k - 4) = -\frac{5}{4} \cdot (-\frac{5}{4} - 4) = -\frac{5}{4} \cdot (-\frac{5}{4} - \frac{16}{4}) = -\frac{5}{4} \cdot -\frac{21}{4} = \frac{105}{16}\)

Теперь все вместе:

\[ \frac{1271}{16} + \frac{105}{16} = \frac{1376}{16} = \frac{86}{1} = 86 \]

---

Задача 10: Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности \( 49x^2 + 126x + 81 \)

Для того, чтобы представить это выражение в виде квадрата, найдем дискриминант:

Это равно \( 7x \) в квадрате и \( 9 \) в квадрате

Находим полное квадратное уравнение путем разложения:

\[ 49x^2 + 126x + 81 = (7x + 9)^2 \]

Таким образом:

\[ 49x^2 + 126x + 81 = (7x + 9)^2 \]

Записав, мы нашли квадрат суммы.

По всем задачам у нас разъяснены шаги и методики, используемые для поиска решений. Если у вас есть вопросы или требуется дополнительная помощь, пожалуйста, уточните.