Найдите точку минимума функции y=13x3−3x2+5x

Чтобы найти точку максимума функции \( y = x^3 + 5.5x^2 - 42x + 18 \), выполните следующие шаги:

Шаг 1: Находим производную функции

Для начала найдем первую производную функции: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 11x - 42 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Нам нужно найти критические точки, приравняв первую производную к нулю: \[ 3x^2 + 11x - 42 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-42) = 121 + 504 = 625 \]

Шаг 3: Находим корни уравнения

Теперь можем найти корни уравнения, используя формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 \pm 25}{6} \]

Рассмотрим оба корня:

1. \( x_1 = \frac{-11 + 25}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \)
2. \( x_2 = \frac{-11 - 25}{6} = \frac{-36}{6} = -6 \)

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x_1 = \frac{7}{3} \) и \( x_2 = -6 \).

Шаг 4: Находим вторую производную

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 11 \]

Теперь подставим критические точки в вторую производную.

1. Для \( x_1 = \frac{7}{3} \): \[ y''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \cdot \frac{7}{3} + 11 = 14 + 11 = 25 \quad (\text{положительное значение, минимум}) \]

2. Для \( x_2 = -6 \): \[ y''(-6) = 6 \cdot (-6) + 11 = -36 + 11 = -25 \quad (\text{отрицательное значение, максимум}) \]

Шаг 5: Находим значение функции в точке максимума

Теперь подставим \( x = -6 \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y(-6) = (-6)^3 + 5.5 \cdot (-6)^2 - 42 \cdot (-6) + 18 \] \[ = -216 + 5.5 \cdot 36 + 252 + 18 \] \[ = -216 + 198 + 252 + 18 \] \[ = -216 + 468 = 252 \]

Заключение

Таким образом, точка максимума функции \( y = x^3 + 5.5x^2 - 42x + 18 \) находится в точке \( x = -6 \) и значение функции в этой точке: \[ \text{Точка максимума: } (-6, 252) \]

Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^3 - 300x + 14 \), мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Находим производную функции

Сначала находим первую производную функции: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 300 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Теперь приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 300 = 0 \]

Решаем уравнение: \[ 3x^2 = 300 \] \[ x^2 = 100 \] \[ x = 10 \quad \text{или} \quad x = -10 \]

Шаг 3: Находим вторую производную

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить тип критических точек: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x \]

Шаг 4: Исследуем критические точки

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

1. Для \( x = 10 \): \[ y''(10) = 6 \cdot 10 = 60 \quad (\text{положительное значение, минимум}) \]

2. Для \( x = -10 \): \[ y''(-10) = 6 \cdot (-10) = -60 \quad (\text{отрицательное значение, максимум}) \]

Шаг 5: Находим значение функции в точке минимума

Теперь подставим \( x = 10 \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y(10) = 10^3 - 300 \cdot 10 + 14 \] \[ = 1000 - 3000 + 14 \] \[ = 1000 - 3000 + 14 = -1986 \]

Заключение

Точка минимума функции \( y = x^3 - 300x + 14 \) находится в точке \( x = 10 \), и значение функции в этой точке:

\[ \text{Точка минимума: } (10, -1986) \]

Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^3 - 18x + 29 \), выполним следующие шаги.

Шаг 1: Находим производную функции

Сначала найдем первую производную функции: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 18 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 18 = 0 \] \[ 3x^2 = 18 \] \[ x^2 = 6 \] \[ x = \sqrt{6} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{6} \]

Шаг 3: Находим вторую производную

Найдем вторую производную для определения типа критических точек: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x \]

Шаг 4: Исследуем критические точки

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

1. Для \( x = \sqrt{6} \): \[ y''(\sqrt{6}) = 6\sqrt{6} \quad (\text{положительное значение, минимум}) \]

2. Для \( x = -\sqrt{6} \): \[ y''(-\sqrt{6}) = 6(-\sqrt{6}) = -6\sqrt{6} \quad (\text{отрицательное значение, максимум}) \]

Шаг 5: Находим значение функции в точке минимума

Теперь подставим \( x = \sqrt{6} \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y(\sqrt{6}) = (\sqrt{6})^3 - 18\sqrt{6} + 29 \] \[ = 6\sqrt{6} - 18\sqrt{6} + 29 \] \[ = -12\sqrt{6} + 29 \]

Заключение

Таким образом, точка минимума функции \( y = x^3 - 18x + 29 \) находится в точке \( x = \sqrt{6} \), и значение функции в этой точке: \[ \text{Точка минимума: } \left(\sqrt{6}, -12\sqrt{6} + 29\right) \]

Если нужно вычислить численное значение \( -12\sqrt{6} + 29 \), то:

\(\sqrt{6} \approx 2.45\) \[ y(\sqrt{6}) \approx -12 \times 2.45 + 29 \approx -29.4 + 29 \approx -0.4 \]

Таким образом, ответ: \[ \text{Приблизительное значение: } \left(\sqrt{6}, -0.4\right) \]

Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^{3/2} - 18x + 29 \), выполним следующие шаги:

Шаг 1: Находим производную функции

Сначала найдем первую производную функции: \[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} - 18 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ \frac{3}{2}x^{1/2} - 18 = 0 \] \[ \frac{3}{2}x^{1/2} = 18 \] \[ x^{1/2} = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12 \] \[ x = 12^2 = 144 \]

Шаг 3: Находим вторую производную

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4}x^{-1/2} \]

Шаг 4: Исследуем критическую точку

Теперь подставим значение \( x = 144 \) в вторую производную: \[ y''(144) = \frac{3}{4}\cdot(144)^{-1/2} = \frac{3}{4\cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \quad (\text{положительное значение, минимум}) \]

Шаг 5: Находим значение функции в точке минимума

Теперь подставим \( x = 144 \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y(144) = 144^{3/2} - 18 \cdot 144 + 29 \] \[ = (144^{1/2})^3 - 18 \cdot 144 + 29 \] \[ = 12^3 - 18 \cdot 144 + 29 \] \[ = 1728 - 2592 + 29 \] \[ = 1728 - 2592 + 29 = -835 \]

Заключение

Таким образом, точка минимума функции \( y = x^{3/2} - 18x + 29 \) находится в точке \( x = 144 \), и значение функции в этой точке: \[ \text{Точка минимума: } (144, -835) \]

Чтобы найти точку максимума функции \( y = (x - 6)^2 (x - 3) + 5 \), сначала найдем ее производную, затем определим критические точки и выясним, является ли точка максимума или минимума.

Шаг 1: Находим производную функции

Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = \frac{d}{dx}[(x - 6)^2 (x - 3)] + 0 \] Обозначим \( u = (x - 6)^2 \) и \( v = (x - 3) \). Тогда по правилу произведения: \[ y' = u'v + uv' \]

Находим производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = 2(x - 6) \quad \text{и} \quad v' = 1 \]

Теперь подставим в производную: \[ y' = 2(x - 6)(x - 3) + (x - 6)^2 \cdot 1 \]

Упрощаем производную

Раскроем скобки:

1. При первом слагаемом: \[ 2(x - 6)(x - 3) = 2(x^2 - 9x + 18) = 2x^2 - 18x + 36 \]

2. При втором слагаемом: \[ (x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36 \]

Теперь суммируем: \[ y' = (2x^2 - 18x + 36) + (x^2 - 12x + 36) \] \[ y' = 3x^2 - 30x + 72 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравняем производную \( y' \) к нулю: \[ 3x^2 - 30x + 72 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Для начала найдем дискриминант: \[ D = (-30)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 72 = 900 - 864 = 36 \]

Находим корни

Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 \pm 6}{2 \cdot 3} \]

1. \( x_1 = \frac{36}{6} = 6 \)
2. \( x_2 = \frac{24}{6} = 4 \)

Шаг 3: Определяем тип критических точек

Для этого найдем вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 30 \]

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

1. Для \( x = 6 \): \[ y''(6) = 6 \cdot 6 - 30 = 36 - 30 = 6 \quad (\text{положительное значение, минимум}) \]

2. Для \( x = 4 \): \[ y''(4) = 6 \cdot 4 - 30 = 24 - 30 = -6 \quad (\text{отрицательное значение, максимум}) \]

Шаг 4: Находим значение функции в точке максимума

Теперь подставим \( x = 4 \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y(4) = (4 - 6)^2(4 - 3) + 5 \] \[ = (-2)^2 \cdot 1 + 5 = 4 + 5 = 9 \]

Заключение

Таким образом, точка максимума функции \( y = (x - 6)^2 (x - 3) + 5 \) находится в точке \( x = 4 \), и значение функции в этой точке: \[ \text{Точка максимума: } (4, 9) \]

Чтобы найти точку максимума функции \( y = -\frac{x}{x^2 + 225} \), сначала найдем первую производную, затем найдем критические точки и исследуем их.

Шаг 1: Находим производную функции

Используем правило частного для нахождения производной \( y = -\frac{x}{x^2 + 225} \): \[ y' = -\frac{(x^2 + 225)(1) - x(2x)}{(x^2 + 225)^2} \] Упрощая, получаем: \[ y' = -\frac{x^2 + 225 - 2x^2}{(x^2 + 225)^2} \] \[ = -\frac{-x^2 + 225}{(x^2 + 225)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} \]

Шаг 2: Находим критические точки

Теперь приравняем первую производную к нулю: \[ \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ x^2 - 225 = 0 \] \[ x^2 = 225 \] \[ x = 15 \quad \text{или} \quad x = -15 \]

Шаг 3: Определяем тип критических точек

Нам нужно найти вторую производную для определения, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом. Найдем вторую производную \( y'' \).

Для удобства проведем дифференцирование в следующем шаге. Начнем с первой производной: \[ y' = \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} \]

Теперь найдем \( y'' \) с использованием правила частного: \[ y'' = \frac{(x^2 + 225)^2 \cdot (2x) - (x^2 - 225) \cdot 2(x^2 + 225)(2x)}{(x^2 + 225)^4} \] Упрощая, это будет довольно сложным, однако важно лишь найти знак второй производной в критических точках.

Проверяем вторую производную в критических точках

1. Для \( x = 15 \):

   Подставим \( x = 15 \): \[ y'' \text{ (будет положительным или отрицательным ?)} \]

   Упрощаем: \[ y'' \text { укажет, является ли } x = 15 \text{ максимумом.} \]

2. Для \( x = -15 \):

   Подставим \( x = -15 \): \[ y'' \text { (проверяем на знак)} \]

Прямо сейчас проще будет проанализировать первую производную в этих точках и около них.

Шаг 4: Анализ производной

1. Для \( x < -15 \) (например, \( x = -16 \)): \[ y'(-16) = \frac{(-16)^2 - 225}{(-16^2 + 225)^2} = \frac{256 - 225}{(256 + 225)^2} > 0 \quad (\text{возрастает}) \]

2. Для \( -15 < x < 15 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = \frac{0 - 225}{(0 + 225)^2} < 0 \quad (\text{убывает}) \]

3. Для \( x > 15 \) (например, \( x = 16 \)): \[ y'(16) = \frac{256 - 225}{(256 + 225)^2} > 0 \quad (\text{возрастает}) \]

Заключение

По итогам анализа мы видим, что:

• На интервале \( (-\infty, -15) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
• На интервале \( (-15, 15) \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
• На интервале \( (15, +\infty) \): \( y' > 0 \) (функция снова возрастает)

Таким образом, \( x = -15 \) — точка максимума.

Шаг 5: Находим значение функции в точке максимума

Теперь вычислим состояние функции в точке максимума \( x = -15 \): \[ y(-15) = -\frac{-15}{(-15)^2 + 225} = -\frac{-15}{225 + 225} = -\frac{-15}{450} = \frac{15}{450} = \frac{1}{30} \]

Финальный ответ

Таким образом, точка максимума функции \( y = -\frac{x}{x^2 + 225} \): \[ \text{Точка максимума: } \left(-15, \frac{1}{30}\right) \]

Чтобы найти точку максимума функции \( y = -\frac{x}{x^2 + 225} \), следуем стандартной процедуре — находим первую и вторую производные, определяем критические точки, а затем анализируем их.

Шаг 1: Находим производную функции

Используем правило частного для нахождения производной \( y = -\frac{x}{x^2 + 225} \): \[ y' = -\frac{(x^2 + 225) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 + 225)^2} \]

Упрощая, получаем: \[ y' = -\frac{x^2 + 225 - 2x^2}{(x^2 + 225)^2} \] \[ = -\frac{-x^2 + 225}{(x^2 + 225)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} \]

Шаг 2: Находим критические точки

Теперь приравняем первую производную к нулю: \[ \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ x^2 - 225 = 0 \] \[ x^2 = 225 \] \[ x = 15 \quad \text{или} \quad x = -15 \]

Шаг 3: Определяем тип критических точек

Мы знаем, что критические точки — это \( x = 15 \) и \( x = -15 \). Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом.

Возьмем первую производную: \[ y' = \frac{x^2 - 225}{(x^2 + 225)^2} \]

Теперь найдем \( y'' \) (вторая производная). Это можно сделать с помощью правила частного: \[ y'' = \frac{(x^2 + 225)^2 \cdot (2x) - (x^2 - 225) \cdot 2(x^2 + 225)(2x)}{(x^2 + 225)^4} \]

Упрощаем: \[ y'' = \frac{(2x)(x^2 + 225)^2 - (2x)(x^2 - 225)(2)(x^2 + 225)}{(x^2 + 225)^4} \] \[ = \frac{2x[(x^2 + 225)^2 - 2(x^2 - 225)(x^2 + 225)]}{(x^2 + 225)^4} \]

Шаг 4: Проверяем вторую производную на критических точках

1. Для \( x = 15 \): \[ y''(15) = \text{в общем форме будет очень сложно, но анализируем знак.} \]

2. Для \( x = -15 \): \[ y''(-15) = \text{анализируем по аналогии.} \]

Альтернативный анализ через первую производную

Давайте проанализируем первую производную вокруг критических точек:

1. При \( x < -15 \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
2. При \( -15 < x < 15 \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
3. При \( x > 15 \): \( y' > 0 \) (функция снова возрастает)

Получаем, что:

• На интервале \( (-\infty, -15) \) - функция восходящая.
• На интервале \( (-15, 15) \) - функция нисходящая.
• На интервале \( (15, +\infty) \) - функция восходящая.

Таким образом, \( x = -15 \) будет точкой максимума.

Шаг 5: Находим значение функции в точке максимума

Теперь вычислим значение функции в точке максимума \( x = -15 \): \[ y(-15) = -\frac{-15}{(-15)^2 + 225} \] \[ = \frac{15}{225 + 225} = \frac{15}{450} = \frac{1}{30} \]

Заключение

Таким образом, точка максимума функции \( y = -\frac{x}{x^2 + 225} \) находится в точке \( x = -15 \), и значение функции в этой точке: \[ \text{Точка максимума: } \left(-15, \frac{1}{30}\right) \]