реши векторы пожалуйста

Для решения задач, приведенных на изображении, давайте разберем их по очереди.

Задача 1

Найти скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(a = |\vec{a}| = 1\), \(b = |\vec{b}| = 2\), угол между векторами \(60^\circ\).

Скалярное произведение двух векторов определяется формулой: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \] где \(\theta\) — угол между векторами.

Подставим данные: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

Ответ: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\).

Задача 2

Вычислить косинус угла между векторами \(\vec{a} = (-3; 4)\) и \(\vec{b} = (4; 3)\).

Формула для косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

Сначала находим скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 4 + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0 \]

Модули векторов: \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Подставим в формулу: \[ \cos \theta = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0 \]

Ответ: \(\cos \theta = 0\).

Задача 3

Найти значение \(x\), при котором векторы \(\vec{a} = (x; -2)\) и \(\vec{b} = (4; -3)\) перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot 4 + (-2) \cdot (-3) = 0 \]

Решим уравнение: \[ 4x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

Ответ: \(x = -\frac{3}{2}\).