Интеграл 1 - 1 4x^2+12x+9 dx

Чтобы решить интеграл \(\int \frac{1}{4x^2 + 12x + 9} \, dx\), начнем с упрощения выражения в знаменателе.

Шаг 1: Работа с квадратным выражением

Знаменатель \(4x^2 + 12x + 9\) можно упростить. Мы можем попытаться разложить его на множители или использовать формулу квадратного трехчлена.

Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \] Поскольку дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет один двойной корень. Найдем корень: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \]

Теперь можем записать \(4x^2 + 12x + 9\) как \(4(x + \frac{3}{2})^2\).

Шаг 2: Переписывание интеграла

Теперь перепишем интеграл: \[ \int \frac{1}{4(x + \frac{3}{2})^2} \, dx \]

Шаг 3: Вынесение постоянной

Вынесем 1/4 за знак интеграла: \[ \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x + \frac{3}{2})^2} \, dx \]

Шаг 4: Интегрирование

Интеграл \(\int \frac{1}{u^2} \, du\) равен \(-\frac{1}{u}\). В нашем случае \(u = x + \frac{3}{2}\). Таким образом, интеграл становится: \[ \frac{1}{4} \cdot -\frac{1}{x + \frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{4(x + \frac{3}{2})} + C \]

Шаг 5: Запись окончательного ответа

Теперь мы можем записать окончательный ответ: \[ \int \frac{1}{4x^2 + 12x + 9} \, dx = -\frac{1}{4(x + \frac{3}{2})} + C \]

Итог

Мы решили интеграл путем преобразования квадратного выражения и применения стандартных формул интегрирования. Если у тебя есть вопросы по каждому шагу, дай знать, и я объясню более детально!