В графе n вершин каждая из которых является смежной для остальных вершин. Сколько рёбер в графе?
Для решения задачи о графе с \( n \) вершинами, где каждая вершина смежна со всеми остальными, мы можем обратиться к определениям и свойствам графов.
Понимание смежных вершин: Если каждая из \( n \) вершин смежна с каждой другой, это означает, что между любыми двумя различными вершинами существует ребро.
Определение рёбер: В полном графе (а именно, графе, где каждая вершина соединена с каждой другой) количество рёбер можно рассчитать по формуле:
\[ m = \frac{n(n-1)}{2} \]
Здесь \( m \) — это общее количество рёбер в графе, \( n \) — количество вершин.
- \( n(n-1) \) дает количество пар вершин, потому что каждая вершина может быть соединена с \( (n-1) \) другими вершинами.
- Делим на 2, чтобы избежать двойного счёта (то есть, если мы считаем ребро от вершины \( A \) к вершине \( B \), то мы не будем считать его от \( B \) к \( A \)).
Пример: Рассмотрим случай, когда \( n = 4 \):
- Применяя формулу: \[ m = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] Это означает, что граф с 4 вершинами, где каждая вершина соединена с каждой другой, имеет 6 рёбер.
Обобщение: Для любого произвольного количества вершин \( n \), мы можем использовать эту формулу для нахождения количества рёбер в полном графе. Например:
- Если \( n = 5 \): \[ m = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
- Если \( n = 6 \): \[ m = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
Таким образом, в графе с \( n \) вершинами, каждая из которых является смежной со всеми остальными, количество рёбер будет равно \( \frac{n(n-1)}{2} \).
