В графе n вершин каждая из которых является смежной для остальных вершин. Сколько рёбер в графе?

Для решения задачи о графе с \( n \) вершинами, где каждая вершина смежна со всеми остальными, мы можем обратиться к определениям и свойствам графов. 1. **Понимание смежных вершин**: Если каждая из \( n \) вершин смежна с каждой другой, это означает, что между любыми двумя различными вершинами существует ребро. 2. **Определение рёбер**: В полном графе (а именно, графе, где каждая вершина соединена с каждой другой) количество рёбер можно рассчитать по формуле: \[ m = \frac{n(n-1)}{2} \] Здесь \( m \) — это общее количество рёбер в графе, \( n \) — количество вершин. - \( n(n-1) \) дает количество пар вершин, потому что каждая вершина может быть соединена с \( (n-1) \) другими вершинами. - Делим на 2, чтобы избежать двойного счёта (то есть, если мы считаем ребро от вершины \( A \) к вершине \( B \), то мы не будем считать его от \( B \) к \( A \)). 3. **Пример**: Рассмотрим случай, когда \( n = 4 \): - Применяя формулу: \[ m = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] Это означает, что граф с 4 вершинами, где каждая вершина соединена с каждой другой, имеет 6 рёбер. 4. **Обобщение**: Для любого произвольного количества вершин \( n \), мы можем использовать эту формулу для нахождения количества рёбер в полном графе. Например: - Если \( n = 5 \): \[ m = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] - Если \( n = 6 \): \[ m = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] Таким образом, в графе с \( n \) вершинами, каждая из которых является смежной со всеми остальными, количество рёбер будет равно \( \frac{n(n-1)}{2} \).