Давайте решим задачу, связанную с нахождением площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми (x = a), (x = b) и графиком функции (y = f(x)), где (f(x) = \frac{1}{x^2}), (a = 2) и (b = 4).
Шаг 1: Построение графика функции
Сначала давайте нарисуем график функции (y = \frac{1}{x^2}). Это функция убывающего характера, которая определена для (x > 0) и имеет асимптоты в нуле. На отрезке от (x = 2) до (x = 4) график функции будет выглядеть следующим образом:
- (f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4})
- (f(4) = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16})
Шаг 2: Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью (Ox) может быть найдена с помощью интеграла:
[
S = \int_{a}^{b} f(x) , dx
]
Подставляем наши значения для (a) и (b):
[
S = \int_{2}^{4} \frac{1}{x^2} , dx
]
Шаг 3: Вычисление интеграла
Для вычисления интеграла (\int \frac{1}{x^2} , dx) можно использовать формулу:
[
\int \frac{1}{x^n} , dx = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C, \quad n \neq 1
]
В нашем случае (n = 2). Таким образом, интеграл примет вид:
[
\int \frac{1}{x^2} , dx = -\frac{1}{x} + C
]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
S = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{2}^{4} = \left( -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right)
]
Шаг 4: Подсчет значений
Теперь вычислим значения:
- (-\frac{1}{4})
- (-(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2})
Теперь подставим:
[
S = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4}
]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми (x = 2), (x = 4) и графиком функции (y = \frac{1}{x^2}) составляет (\frac{1}{4}).
Это решение позволяет понять процесс нахождения площади криволинейной трапеции с использованием определённого интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими типами задач, дайте знать!
