изобразите криволинейную трапецию ограниченную осью ох прямыми х а х b и графиком функции y=f(x) (1-4) 1.a=2,b=4,f(x)=1/x2
Давайте решим задачу, связанную с нахождением площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми \(x = a\), \(x = b\) и графиком функции \(y = f(x)\), где \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), \(a = 2\) и \(b = 4\).
Шаг 1: Построение графика функции
Сначала давайте нарисуем график функции \(y = \frac{1}{x^2}\). Это функция убывающего характера, которая определена для \(x > 0\) и имеет асимптоты в нуле. На отрезке от \(x = 2\) до \(x = 4\) график функции будет выглядеть следующим образом:
- \(f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
- \(f(4) = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)
Шаг 2: Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции между графиком функции и осью \(Ox\) может быть найдена с помощью интеграла:
\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Подставляем наши значения для \(a\) и \(b\):
\[ S = \int_{2}^{4} \frac{1}{x^2} \, dx \]
Шаг 3: Вычисление интеграла
Для вычисления интеграла \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\) можно использовать формулу:
\[ \int \frac{1}{x^n} \, dx = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C, \quad n \neq 1 \]
В нашем случае \(n = 2\). Таким образом, интеграл примет вид:
\[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C \]
Теперь подставим пределы интегрирования:
\[ S = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{2}^{4} = \left( -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \]
Шаг 4: Подсчет значений
Теперь вычислим значения:
- \(-\frac{1}{4}\)
- \(-(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\)
Теперь подставим:
\[ S = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \]
Шаг 5: Ответ
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми \(x = 2\), \(x = 4\) и графиком функции \(y = \frac{1}{x^2}\) составляет \(\frac{1}{4}\).
Это решение позволяет понять процесс нахождения площади криволинейной трапеции с использованием определённого интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими типами задач, дайте знать!
