Чтобы решить задачу с квадратными уравнениями и найти значение (6p), когда оба уравнения имеют общий корень, следуем пошагово.
Шаг 1: Записать уравнения
У нас есть два квадратных уравнения:
- ( x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0 )
- ( x^2 + (p + 2)x + 2p - 1 = 0 )
Обозначим общий корень как ( x ).
Шаг 2: Использовать общий корень
Поскольку оба уравнения имеют общий корень (x), можем выразить (x) из первого уравнения и подставить в второе. Из первого уравнения находим:
[
x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0
]
Это равенство приравниваем к нулю:
[
x^2 = -(p - 1)x + (p + 2)
]
Теперь подставим (x^2) из первого уравнения во второе:
[
-(p - 1)x + (p + 2) + (p + 2)x + 2p - 1 = 0
]
Шаг 3: Объединить уравнения
Упрощаем уравнение:
[
-(p - 1)x + (p + 2)x + (p + 2 + 2p - 1) = 0
]
[
((p + 2) - (p - 1))x + (3p + 1) = 0
]
[
(3)x + (3p + 1) = 0
]
Из данного уравнения, когда оно равно нулю:
[
3x + 3p + 1 = 0 \implies x = -p - \frac{1}{3}
]
Шаг 4: Подставить значение общего корня
Теперь подставим значение общего корня (x) в одно из уравнений (например, в первое):
[
(-p - \frac{1}{3})^2 + (p - 1)(-p - \frac{1}{3}) - (p + 2) = 0
]
Преобразуем:
- ( (-p - \frac{1}{3})^2 = p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{9} )
- Второй член: ((p - 1)(-p - \frac{1}{3}) = -p^2 - \frac{p}{3} + p + \frac{1}{3} = -p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{3} )
Собираем всё в одно уравнение:
[
p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{9} - p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{3} - (p + 2) = 0
]
Складываем:
[
\frac{4p}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - p - 2 = 0
]
Отсюда выразим (p). Приведем всё к общему знаменателю:
[
\frac{4p}{3} - \frac{3p}{3} + \frac{1 + 3}{9} - \frac{18}{9} = 0
]
[
\frac{p}{3} - \frac{14}{9} = 0
]
Решим уравнение:
[
p = \frac{14}{3}
]
Шаг 5: Найти значение (6p)
Теперь подставим найденное значение (p) в (6p):
[
6p = 6 \cdot \frac{14}{3} = 28
]
Ответ
Таким образом, (6p = 28).
