При некотором значении р квадратные уравнения х²+(р-1)х-(р+2)=0 и х²+(р+2)х+2р-1=0 имеют общий корень. тогда 6р равно

Чтобы решить задачу с квадратными уравнениями и найти значение \(6p\), когда оба уравнения имеют общий корень, следуем пошагово.

Шаг 1: Записать уравнения

У нас есть два квадратных уравнения:

1. \( x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0 \)
2. \( x^2 + (p + 2)x + 2p - 1 = 0 \)

Обозначим общий корень как \( x \).

Шаг 2: Использовать общий корень

Поскольку оба уравнения имеют общий корень \(x\), можем выразить \(x\) из первого уравнения и подставить в второе. Из первого уравнения находим: \[ x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0 \] Это равенство приравниваем к нулю: \[ x^2 = -(p - 1)x + (p + 2) \] Теперь подставим \(x^2\) из первого уравнения во второе: \[ -(p - 1)x + (p + 2) + (p + 2)x + 2p - 1 = 0 \]

Шаг 3: Объединить уравнения

Упрощаем уравнение: \[ -(p - 1)x + (p + 2)x + (p + 2 + 2p - 1) = 0 \] \[ ((p + 2) - (p - 1))x + (3p + 1) = 0 \] \[ (3)x + (3p + 1) = 0 \] Из данного уравнения, когда оно равно нулю: \[ 3x + 3p + 1 = 0 \implies x = -p - \frac{1}{3} \]

Шаг 4: Подставить значение общего корня

Теперь подставим значение общего корня \(x\) в одно из уравнений (например, в первое): \[ (-p - \frac{1}{3})^2 + (p - 1)(-p - \frac{1}{3}) - (p + 2) = 0 \] Преобразуем:

1. \( (-p - \frac{1}{3})^2 = p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{9} \)
2. Второй член: \((p - 1)(-p - \frac{1}{3}) = -p^2 - \frac{p}{3} + p + \frac{1}{3} = -p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{3} \)

Собираем всё в одно уравнение: \[ p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{9} - p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{3} - (p + 2) = 0 \] Складываем: \[ \frac{4p}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - p - 2 = 0 \]

Отсюда выразим \(p\). Приведем всё к общему знаменателю: \[ \frac{4p}{3} - \frac{3p}{3} + \frac{1 + 3}{9} - \frac{18}{9} = 0 \] \[ \frac{p}{3} - \frac{14}{9} = 0 \]

Решим уравнение: \[ p = \frac{14}{3} \]

Шаг 5: Найти значение \(6p\)

Теперь подставим найденное значение \(p\) в \(6p\): \[ 6p = 6 \cdot \frac{14}{3} = 28 \]

Ответ

Таким образом, \(6p = 28\).