Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Условие задачи
Митя начинает с 0 очков. Ему нужно набрать не менее 8000 очков. В каждой следующей минуте количество очков, которое он получает, удваивается. Первые несколько минут добавляются соответствующие очки:
- После 1-й минуты: +2 очка
- После 2-й минуты: +4 очка
- После 3-й минуты: +8 очков
- После 4-й минуты: +16 очков
- И так далее...
Мы видим, что количество добавляемых очков увеличивается в 2 раза каждую минуту, что можно выразить как:
- После n-й минуты: (2^n) очков.
Вычисление суммы очков
Давайте вычислим общую сумму очков, которую Митя наберет за n минут. Сумма очков за n минут будет равна:
[
S_n = 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^n
]
Эта последовательность является геометрической прогрессией. Общая формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так:
[
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
]
где:
- (a) — первый член прогрессии (в нашем случае 2),
- (r) — знаменатель прогрессии (в нашем случае 2),
- (n) — количество членов.
Подставим значения в формулу:
[
S_n = 2 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2 \cdot (2^n - 1) = 2^{n+1} - 2
]
Условие достижения 8000 очков
Теперь мы хотим, чтобы сумма очков была не менее 8000:
[
2^{n+1} - 2 \geq 8000
]
Добавим 2 к обеим сторонам:
[
2^{n+1} \geq 8002
]
Теперь решим это неравенство. Для этого найдем, какое значение n удовлетворяет данному неравенству.
Поиск n
Мы можем взять логарифм от обеих сторон:
[
n + 1 \geq \log_2{8002}
]
[
n \geq \log_2{8002} - 1
]
Чтобы оценить (\log_2{8002}), используем приближенные значения. Мы знаем, что:
[
2^{13} = 8192 \quad \text{и} \quad 2^{12} = 4096
]
Следовательно, (12 < \log_2{8002} < 13). Таким образом, можно использовать:
[
\log_2{8002} \approx 13
]
Тогда:
[
n \geq 13 - 1 = 12
]
Проверка результата
Если n = 12:
[
S_{12} = 2^{12+1} - 2 = 2^{13} - 2 = 8192 - 2 = 8190 \quad (больше 8000)
]
Если n = 11:
[
S_{11} = 2^{11+1} - 2 = 2^{12} - 2 = 4096 - 2 = 4094 \quad (меньше 8000)
]
Вывод
Таким образом, чтобы набрать не менее 8000 очков, Мите нужно играть минимум 12 минут.
