рещите примеры методом интервалов (x-1)*(5x+3)*(3x-4)*(2-x) > или = 0

Чтобы решить неравенство \((x - 1)(5x + 3)(3x - 4)(2 - x) \geq 0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому плану.

Шаг 1: Найдем корни

Сначала найдем корни (нули) каждого множителя, равного нулю.

1. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
2. \(5x + 3 = 0 \Rightarrow 5x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}\)
3. \(3x - 4 = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\)
4. \(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\)

Корни:

• \(x_1 = 1\)
• \(x_2 = -\frac{3}{5}\)
• \(x_3 = \frac{4}{3}\)
• \(x_4 = 2\)

Шаг 2: Разобьем числовую прямую на интервалы

Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:

1. \((-\infty, -\frac{3}{5})\)
2. \((- \frac{3}{5}, 1)\)
3. \((1, \frac{4}{3})\)
4. \((\frac{4}{3}, 2)\)
5. \((2, +\infty)\)

Шаг 3: Определим знак на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \((x - 1)(5x + 3)(3x - 4)(2 - x)\) на каждом из интервалов. Для этого выбираем тестовые точки:

1. Для интервала \((-\infty, -\frac{3}{5})\): выберем \(x = -1\): \((-1 - 1)(5(-1) + 3)(3(-1) - 4)(2 - (-1)) = (-2)(-2)(-7)(3) = -84 < 0\)

2. Для интервала \((- \frac{3}{5}, 1)\): выберем \(x = 0\): \((0 - 1)(5(0) + 3)(3(0) - 4)(2 - 0) = (-1)(3)(-4)(2) = 24 > 0\)

3. Для интервала \((1, \frac{4}{3})\): выберем \(x = 1.1\): \((1.1 - 1)(5(1.1) + 3)(3(1.1) - 4)(2 - 1.1) = (0.1)(8.5)(-0.7)(0.9) < 0\)

4. Для интервала \((\frac{4}{3}, 2)\): выберем \(x = 1.5\): \((1.5 - 1)(5(1.5) + 3)(3(1.5) - 4)(2 - 1.5) = (0.5)(10.5)(0.5)(0.5) > 0\)

5. Для интервала \((2, +\infty)\): выберем \(x = 3\): \((3 - 1)(5(3) + 3)(3(3) - 4)(2 - 3) = (2)(18)(5)(-1) < 0\)

Шаг 4: Составим картину знаков

Теперь подытожим знаки:

• \((-\infty, -\frac{3}{5})\): \( - \)
• \((- \frac{3}{5}, 1)\): \( + \)
• \((1, \frac{4}{3})\): \( - \)
• \((\frac{4}{3}, 2)\): \( + \)
• \((2, +\infty)\): \( - \)

Шаг 5: Определим знаки в нужных областях

Мы ищем области, где произведение не отрицательно (\(\geq 0\)). Это происходит на интервалах, где знак положительный или равен нулю:

• Интервал \((- \frac{3}{5}, 1)\) (положительный)
• Интервал \((\frac{4}{3}, 2)\) (положительный)

Шаг 6: Учитываем корни

Так как мы ищем неравенство \(\geq 0\), включим в ответ также корни, где произведение равно нулю:

• \(x = -\frac{3}{5}\) (нулевой)
• \(x = 1\) (нулевой)
• \(x = \frac{4}{3}\) (нулевой)
• \(x = 2\) (нулевой)

Ответ

Итак, решение неравенства будет:

\[ x \in \left[-\frac{3}{5}, 1\right] \cup \left[\frac{4}{3}, 2\right] \]

Проверка: на границах \(-\frac{3}{5}, 1, \frac{4}{3}, 2\) и внутри заданных интервалов функция принимает значения, равные нулю или положительные, что соответствует условию неравенства \((x - 1)(5x + 3)(3x - 4)(2 - x) \geq 0\).