Рещите примеры методом интервалов (x-1)*(5x+3)*(3x-4)*(2-x) > или = 0

Чтобы решить неравенство \((x - 1)(5x + 3)(3x - 4)(2 - x) \geq 0\) методом интервалов, следуем следующему пошаговому плану. ### Шаг 1: Найдем корни Сначала найдем корни (нули) каждого множителя, равного нулю. 1. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) 2. \(5x + 3 = 0 \Rightarrow 5x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}\) 3. \(3x - 4 = 0 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\) 4. \(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\) Корни: - \(x_1 = 1\) - \(x_2 = -\frac{3}{5}\) - \(x_3 = \frac{4}{3}\) - \(x_4 = 2\) ### Шаг 2: Разобьем числовую прямую на интервалы Корни делят числовую прямую на следующие интервалы: 1. \((-\infty, -\frac{3}{5})\) 2. \((- \frac{3}{5}, 1)\) 3. \((1, \frac{4}{3})\) 4. \((\frac{4}{3}, 2)\) 5. \((2, +\infty)\) ### Шаг 3: Определим знак на каждом интервале Теперь проверим знак выражения \((x - 1)(5x + 3)(3x - 4)(2 - x)\) на каждом из интервалов. Для этого выбираем тестовые точки: 1. Для интервала \((-\infty, -\frac{3}{5})\): выберем \(x = -1\): \((-1 - 1)(5(-1) + 3)(3(-1) - 4)(2 - (-1)) = (-2)(-2)(-7)(3) = -84 < 0\) 2. Для интервала \((- \frac{3}{5}, 1)\): выберем \(x = 0\): \((0 - 1)(5(0) + 3)(3(0) - 4)(2 - 0) = (-1)(3)(-4)(2) = 24 > 0\) 3. Для интервала \((1, \frac{4}{3})\): выберем \(x = 1.1\): \((1.1 - 1)(5(1.1) + 3)(3(1.1) - 4)(2 - 1.1) = (0.1)(8.5)(-0.7)(0.9) < 0\) 4. Для интервала \((\frac{4}{3}, 2)\): выберем \(x = 1.5\): \((1.5 - 1)(5(1.5) + 3)(3(1.5) - 4)(2 - 1.5) = (0.5)(10.5)(0.5)(0.5) > 0\) 5. Для интервала \((2, +\infty)\): выберем \(x = 3\): \((3 - 1)(5(3) + 3)(3(3) - 4)(2 - 3) = (2)(18)(5)(-1) < 0\) ### Шаг 4: Составим картину знаков Теперь подытожим знаки: - \((-\infty, -\frac{3}{5})\): \( - \) - \((- \frac{3}{5}, 1)\): \( + \) - \((1, \frac{4}{3})\): \( - \) - \((\frac{4}{3}, 2)\): \( + \) - \((2, +\infty)\): \( - \) ### Шаг 5: Определим знаки в нужных областях Мы ищем области, где произведение не отрицательно (\(\geq 0\)). Это происходит на интервалах, где знак положительный или равен нулю: - Интервал \((- \frac{3}{5}, 1)\) (положительный) - Интервал \((\frac{4}{3}, 2)\) (положительный) ### Шаг 6: Учитываем корни Так как мы ищем неравенство \(\geq 0\), включим в ответ также корни, где произведение равно нулю: - \(x = -\frac{3}{5}\) (нулевой) - \(x = 1\) (нулевой) - \(x = \frac{4}{3}\) (нулевой) - \(x = 2\) (нулевой) ### Ответ Итак, решение неравенства будет: \[ x \in \left[-\frac{3}{5}, 1\right] \cup \left[\frac{4}{3}, 2\right] \] Проверка: на границах \(-\frac{3}{5}, 1, \frac{4}{3}, 2\) и внутри заданных интервалов функция принимает значения, равные нулю или положительные, что соответствует условию неравенства \((x - 1)(5x + 3)(3x - 4)(2 - x) \geq 0\).