Сколько элементарных событий в серии из 9 испытаний Бернулли благоприятствует 4 успехам?

Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии испытаний Бернулли, мы можем использовать формулу для биномиальных коэффициентов.

Шаг 1: Понимание испытаний Бернулли

Испытания Бернулли — это эксперименты, которые имеют два возможных исхода: успех (например, "да") и неуспех (например, "нет"). В нашем случае мы проводим 9 таких испытаний и хотим выяснить, сколько из них могут привести к 4success.

Шаг 2: Использование биномиального коэффициента

Количество способов, которыми можно получить \( k \) успехов в \( n \) испытаниях, задается биномиальным коэффициентом \( C(n, k) \), который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) — факториал числа \( n \), который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до \( n \).

Шаг 3: Применение формулы к нашей задаче

В данной задаче:

• \( n = 9 \) (общее количество испытаний)
• \( k = 4 \) (количество успехов)

Подставляем значения в формулу:

\[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Теперь нам нужно вычислить факториалы:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Шаг 5: Подстановка значение в формулу

Теперь можем подставить вычисленные значения:

\[ C(9, 4) = \frac{362880}{24 \cdot 120} \]

Сначала произведем вычисления для знаменателя:

\[ 24 \cdot 120 = 2880 \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ C(9, 4) = \frac{362880}{2880} = 126 \]

Шаг 6: Ответ

Таким образом, количество элементарных событий, которые благоприятствуют 4 успехам в 9 испытаниях Бернулли, составляет 126.