Реши способом подстановки систему уравнений: { x 2 + y 2 = 205 x y = 42 { x 2 +y 2 =205 xy=42 Запиши числа в полях ответа. Если решений несколько, тогда запиши ту пару значений,…

Для решения системы уравнений методом подстановки начнем с того, что наши уравнения выглядят так:

1. \( x^2 + y^2 = 205 \)

2. \( xy = 42 \)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую.

Из второго уравнения \( xy = 42 \) можно выразить \( y \) через \( x \):

\[ y = \frac{42}{x} \]

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение.

Теперь подставим \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{42}{x}\right)^2 = 205 \]

Шаг 3: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

\[ x^2 + \frac{1764}{x^2} = 205 \]

Умножим все уравнение на \( x^2 \) (учитывая, что \( x \neq 0 \)):

\[ x^4 + 1764 = 205x^2 \]

Шаг 4: Перепишем уравнение.

Преобразуем так:

\[ x^4 - 205x^2 + 1764 = 0 \]

Шаг 5: Пусть \( z = x^2 \).

Теперь введем замену \( z = x^2 \):

\[ z^2 - 205z + 1764 = 0 \]

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения.

Решим это уравнение с использованием формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-205)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1764 \] \[ D = 42025 - 7056 = 34969 \]

Теперь применим корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{34969} = 187 \]

Теперь найдем корни \( z \):

\[ z_{1,2} = \frac{205 \pm 187}{2} \]

Подставим и найдем:

1. \( z_1 = \frac{392}{2} = 196 \)

2. \( z_2 = \frac{18}{2} = 9 \)

Шаг 7: Вернемся к \( x \).

Теперь вернемся к \( x \):

1. Если \( z = 196 \), то \( x^2 = 196 \) → \( x = 14 \) или \( x = -14 \).

2. Если \( z = 9 \), то \( x^2 = 9 \) → \( x = 3 \) или \( x = -3 \).

Шаг 8: Найдем соответствующие \( y \).

Теперь подставим найденные \( x \) в уравнение для \( y \):

1. Для \( x = 14 \): \[ y = \frac{42}{14} = 3 \]

2. Для \( x = -14 \): \[ y = \frac{42}{-14} = -3 \]

3. Для \( x = 3 \): \[ y = \frac{42}{3} = 14 \]

4. Для \( x = -3 \): \[ y = \frac{42}{-3} = -14 \]

Шаг 9: Соберем все возможные пары.

Получили следующие пары \( (x, y) \):

• \( (14, 3) \)
• \( (-14, -3) \)
• \( (3, 14) \)
• \( (-3, -14) \)

Шаг 10: Выберем пару с наибольшим \( x \).

Из всех найденных пар, максимальная по \( x \) будет:

\[ (14, 3) \]

Ответ:

\( x = 14, y = 3 \)