Треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность, радиус которой равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 23

Для решения задачи сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике, вписанная окружность и ее радиус имеют определенные отношения к сторонам треугольника. Давайте обозначим стороны нашего треугольника: - \( a \) — длина стороны \( BC \) - \( b \) — длина стороны \( AC \) - \( c \) — длина гипотенузы \( AB \), которую мы знаем, она равна 23. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности (\( r \)) можно выразить через его стороны следующим образом: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Подставим известные значения: - \( r = 2 \) - \( c = 23 \) Теперь мы можем подставить данные в формулу: \[ 2 = \frac{a + b - 23}{2} \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления: \[ 4 = a + b - 23 \] Теперь добавим 23 к обеим сторонам: \[ a + b = 27 \] Теперь мы знаем сумму катетов \( a \) и \( b \). Следующим шагом нам нужно найти площадь треугольника ABC. Площадь треугольника с основанием и высотой можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Мы можем выразить одну из сторон через другую, используя найденное ранее уравнение \( a + b = 27 \). Пусть \( b = 27 - a \). Подставим это в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (27 - a) \] Теперь упростим: \[ S = \frac{1}{2} (27a - a^2) \] Чтобы найти максимальную площадь, нужно взять производную этой функции, приравнять ее к нулю и найти критические точки. Однако мы можем напрямую посмотреть, какие значения \( a \) и \( b \) соответствуют площади, при этом зная, что \( a + b = 27 \). Так как радиус вписанной окружности равен 2, также можно использовать другой подход, зная, что площадь треугольника через радиус окружности и полупериметр (\( p \)) выражается как: \[ S = r \cdot p \] Полупериметр \( p \) для нашего треугольника: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{27 + 23}{2} = 25 \] Теперь подставим значения радиуса и полупериметра в формулу площади: \[ S = 2 \cdot 25 = 50 \] Таким образом, площадь треугольника ABC равна: \[ \boxed{50} \]