Давайте решим задачу шаг за шагом.
Вера загадала число, обозначим его за ( x ). По условию, если это число разделить на 11, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное.
1. Запись условия
Когда мы делим ( x ) на 11, мы можем использовать следующие обозначения:
- Частное при делении ( x ) на 11 обозначим как ( q ).
- Остаток при делении ( x ) на 11 обозначим как ( r ).
Тогда можно записать:
[ x = 11q + r ]
По условию задачи, остаток ( r ) в 2 раза меньше, чем частное ( q ):
[ r = \frac{q}{2} ]
2. Подстановка выражений
Теперь мы можем подставить ( r ) в равенство ( x = 11q + r ):
[
x = 11q + \frac{q}{2}
]
Упрощаем это выражение:
[
x = 11q + 0.5q = 11.5q
]
3. Вычисление частного
Теперь необходимо найти значение ( q ), при котором ( x ) будет в диапазоне от 100 до 130. Это можно сделать следующим образом:
[
100 < 11.5q < 130
]
Разделим все части inequalities на 11.5:
[
\frac{100}{11.5} < q < \frac{130}{11.5}
]
4. Расчет диапазона для ( q )
Теперь подсчитаем границы:
[
\frac{100}{11.5} \approx 8.69565 \quad \text{(округляем до 9)}
]
[
\frac{130}{11.5} \approx 11.30435 \quad \text{(округляем до 11)}
]
Таким образом, возможные целые значения натурального числа ( q ) находятся в диапазоне:
[ 9 \leq q \leq 11 ]
5. Подбор значений
Теперь подставим возможные значения ( q ) и найдем соответствующие ( x ):
Если ( q = 9 ):
[
x = 11.5 \times 9 = 103.5 \quad \text{(не подходит, так как нецелое)}
]
Если ( q = 10 ):
[
x = 11.5 \times 10 = 115 \quad \text{(подходит)}
]
Если ( q = 11 ):
[
x = 11.5 \times 11 = 126.5 \quad \text{(не подходит, так как нецелое)}
]
6. Проверка условия
Теперь проверим найденное значение ( x = 115 ):
- Частное ( q = 10 )
- Остаток ( r = x - 11 \cdot q = 115 - 110 = 5 )
Проверим, соответствует ли условию:
- Частное 10, остаток 5. Действительно, ( r = \frac{q}{2} ) (то есть ( 5 = \frac{10}{2} )).
Итог
Таким образом, Вера загадала число 115.
