Для решения этой задачи давайте разберем ее подробно.
Дано:
- Расстояние между пристанями: ( S = 32 ) км
- Время в пути: ( T = 3 \frac{2}{3} ) часа (что равняется ( 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} ) часа)
- Время стоянки: ( 40 ) минут = ( \frac{40}{60} = \frac{2}{3} ) часа
- Скорость катера в стоячей воде: ( V_k = 24 ) км/ч
- Скорость течения: ( V_t ) км/ч (это то, что нам нужно найти)
Шаг 1: Вычисляем время в пути без стоянки
Общее время в пути без стоянки равно:
[
T_{путь} = T - T_{стоя} = \frac{11}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} = 3 \text{ часа}
]
Шаг 2: Разделим путь на две части (вперед и назад)
Когда катер идет по течению, его скорость будет:
[
V_{вперед} = V_k + V_t
]
Когда он возвращается против течения, его скорость будет:
[
V_{назад} = V_k - V_t
]
Шаг 3: Запишем уравнение для времени
Время, необходимое для того, чтобы пройти 32 км по течению, и 32 км против течения:
[
T_{вперед} + T_{назад} = 3
]
Где:
[
T_{вперед} = \frac{S}{V_{вперед}} = \frac{32}{V_k + V_t}
]
[
T_{назад} = \frac{S}{V_{назад}} = \frac{32}{V_k - V_t}
]
Таким образом, уравнение становится:
[
\frac{32}{V_k + V_t} + \frac{32}{V_k - V_t} = 3
]
Шаг 4: Подставляем известные значения
Подставляем ( V_k = 24 ):
[
\frac{32}{24 + V_t} + \frac{32}{24 - V_t} = 3
]
Шаг 5: Умножаем на общий множитель
Умножаем обе части уравнения на выражение ( (24 + V_t)(24 - V_t) ):
[
32(24 - V_t) + 32(24 + V_t) = 3(24 + V_t)(24 - V_t)
]
Упрощаем:
[
32 \cdot 24 - 32V_t + 32 \cdot 24 + 32V_t = 3(576 - V_t^2)
]
[
64 \cdot 24 = 3(576 - V_t^2)
]
Шаг 6: Приводим уравнение к стандартному виду
Считаем:
[
1536 = 1728 - 3V_t^2
]
[
3V_t^2 = 1728 - 1536
]
[
3V_t^2 = 192
]
[
V_t^2 = 64
]
[
V_t = 8 \text{ км/ч}
]
Шаг 7: Ответ
Скорость течения реки Амазонки составляет 8 км/ч.
