.
Для решения уравнения
\[ \frac{3x - 5}{x - 3} = \frac{20 + 4x}{x + 3}, \]
следуем следующим шагам:
Проверьте области допустимых значений (ОДЗ):
Функция не определена, когда знаменатели равны нулю. Это значит:\[ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3, \]
\[ x + 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -3. \]
Таким образом, \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\).
Перепись уравнения:
Если уравнение определено, можно использовать свойство пропорции и перемножить крест-накрест:\[ (3x - 5)(x + 3) = (20 + 4x)(x - 3). \]
Раскройте скобки:
Слева:
\[ (3x - 5)(x + 3) = 3x^2 + 9x - 5x - 15, \]
упрощаем до \(3x^2 + 4x - 15\).
Справа:
\[ (20 + 4x)(x - 3) = 20x - 60 + 4x^2 - 12x, \]
упрощаем до \(4x^2 + 8x - 60\).
Приведите уравнение к стандартному виду:
Уравняем левые и правые части:
\[ 3x^2 + 4x - 15 = 4x^2 + 8x - 60. \]
Переносим все члены влево:
\[ 3x^2 + 4x - 15 - 4x^2 - 8x + 60 = 0, \]
упрощаем до:
\[ -x^2 - 4x + 45 = 0 \]
или
\[ x^2 + 4x - 45 = 0. \]
Решите квадратное уравнение:
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196. \]
Поскольку \(D > 0\), у нас два действительных корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2}. \]
\[ \sqrt{196} = 14, \]
поэтому:
\[ x_1 = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5, \]
\[ x_2 = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9. \]
Проверьте решения на соответствие ОДЗ:
Проверяем \(x = 5\) и \(x = -9\) в контексте ОДЗ:
- \(x = 5\) удовлетворяет условиям ОДЗ,
- \(x = -9\) удовлетворяет условиям ОДЗ.
Найдите сумму корней:
\[ 5 + (-9) = -4. \]
Таким образом, сумма корней уравнения составляет \(-4\).
