наименьшее натуральное n, при котором число √41+√n + √41-√n является целым, равно..

Для решения задачи найдем наименьшее натуральное \( n \), при котором выражение \( \sqrt{41} + \sqrt{n} + \sqrt{41} - \sqrt{n} \) становится целым числом.

Сначала упростим данное выражение:

\[ \sqrt{41} + \sqrt{n} + \sqrt{41} - \sqrt{n} = 2\sqrt{41} \]

Теперь нам нужно, чтобы \( 2\sqrt{41} \) было целым числом. Однако \( \sqrt{41} \) — это нецелое число и равно примерно \( 6.4 \). Умножив его на 2, мы получаем приблизительно \( 12.8 \), что также нечётное число.

Вместо этого, рассмотрим другую интерпретацию: нам нужно, чтобы разность \( \sqrt{41} - \sqrt{n} \) была целым числом, так как сумма выражения сначала \( \sqrt{n} + \sqrt{41} \) становится целой, если мы можем уменьшить его на целое число в виде разности \( k \).

Обозначим \( \sqrt{41} - \sqrt{n} = k \), где \( k \) — целое число. Тогда, выражая \( \sqrt{n} \):

\[ \sqrt{n} = \sqrt{41} - k \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ n = (\sqrt{41} - k)^2 = 41 - 2k\sqrt{41} + k^2 \]

Чтобы \( n \) было натуральным числом, \( -2k\sqrt{41} \) должно давать целое число с \( k\). Для этого \( k \) должно быть равно 0 (так как при любых других значениях, выражение не примет форму целого). Таким образом, заданное равенство переходит в:

\[ \sqrt{n} = \sqrt{41} \]

Тогда мы можем найти \( n \):

\[ n = 41 \]

Теперь, чтобы удостовериться, является ли это число минимальным, проверим, что оно натуральное и при \( n < 41 \) выражение не будет целым. При любых натуральных \( n < 41 \) результат не будет целым, поскольку в выражении \( 2\sqrt{41} \) фиксированным останется корень, а \( \sqrt{n} \) уменьшится.

Таким образом, минимальное подходящее значение для \( n \):

\[ \boxed{41} \]