Чтобы решить задачу, начнем с того, что определим некоторые ключевые параметры и свойства, которые нам понадобятся.
Дано:
- Длина касательной ( KA = 8\sqrt{3} ) см.
- Угол ( OAK = 60^\circ ).
- ( O ) - центр окружности.
- ( K ) - точка касания касательной с окружностью.
Свойства касательной:
- Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это означает, что угол ( OAK ) и угол ( OKA ) образуют прямой угол, где ( O ) - центр окружности, ( K ) - точка касания, а ( A ) - произвольная точка на касательной.
Используем свойства треугольников и основные тригонометрические функции.
Шаг 1: Находим длину радиуса окружности
Сначала обозначим радиус окружности как ( r ). В треугольнике ( OAK ) мы видим, что:
- ( OA ) – это наклонная сторона,
- ( OK ) – это радиус окружности (перпендикуляр от центра к касательной),
- ( KA ) – это касательная.
Так как в треугольнике ( OAK ) угол ( OAK = 60^\circ ), то по определению синуса в этом треугольнике можем написать:
[
\sin(OAK) = \frac{KA}{OA}
]
Где ( OA ) - гипотенуза. Но сначала найдем радиус ( OK ):
[
\cos(60^\circ) = \frac{r}{OA} \quad \text{и} \quad \sin(60^\circ) = \frac{KA}{OA}
]
Шаг 2: Используем значение касательной
Сначала выразим ( OA ):
[
KA = 8\sqrt{3} \implies \sin(60^\circ) = \frac{8\sqrt{3}}{OA}
]
Известно, что:
[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Таким образом, имеем:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{OA}
]
Решая это уравнение на ( OA ), получаем:
[
OA = \frac{8\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 16 \text{ см}
]
Шаг 3: Найдем радиус окружности
Теперь подставляем ( OA ) в уравнение, используя ( \cos(60^\circ) ):
[
\cos(60^\circ) = \frac{r}{16} \implies \frac{1}{2} = \frac{r}{16} \implies r = 8 \text{ см}
]
Шаг 4: Найдем длину окружности
Теперь, чтобы найти длину окружности ( S ), используем формулу:
[
S = 2\pi r
]
Подставляем значение радиуса:
[
S = 2\pi \cdot 8 = 16\pi \text{ см}
]
Ответ:
Длина окружности ( S ) равна ( 16\pi ) см.
