Теплоход проходит против течения реки до пункта назначения 175 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найди скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной…
Теплоход проходит против течения реки до пункта назначения 175 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найди скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 30 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 15 часов после отплытия из него.
Для решения данной задачи давайте обозначим некоторые переменные, чтобы упростить вычисления:
- Пусть \( v_t \) — скорость теплохода в неподвижной воде (30 км/ч).
- Пусть \( v_p \) — скорость течения реки (которую мы ищем).
- Время, затраченное на путь к пункту назначения (против течения), обозначим как \( t_1 \).
- Время на обратный путь (по течению) обозначим как \( t_2 \).
Шаг 1: Выразим время в пути
Теплоход проходит 175 км до пункта назначения. Скорость теплохода против течения будет равна \( v_t - v_p \) (скорость теплохода минус скорость течения). По пути обратно скорость будет \( v_t + v_p \) (скорость теплохода плюс скорость течения).
Шаг 2: Запишем уравнения для времени
Время в пути против течения: \[ t_1 = \frac{175}{v_t - v_p} = \frac{175}{30 - v_p} \]
Время в пути по течению: \[ t_2 = \frac{175}{v_t + v_p} = \frac{175}{30 + v_p} \]
Шаг 3: Учитываем время стоянки и общее время в пути
По условию стоянка длится 3 часа, а общее время с момента отправления до возвращения составляет 15 часов:
\[ t_1 + t_2 + 3 = 15 \]
Теперь подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в это уравнение:
\[ \frac{175}{30 - v_p} + \frac{175}{30 + v_p} + 3 = 15 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Сначала вычтем 3 из обеих сторон:
\[ \frac{175}{30 - v_p} + \frac{175}{30 + v_p} = 12 \]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (30 - v_p)(30 + v_p) \):
\[ 175(30 + v_p) + 175(30 - v_p) = 12(30 - v_p)(30 + v_p) \]
Шаг 5: Упростим и решим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 175 \cdot 30 + 175 v_p + 175 \cdot 30 - 175 v_p = 12(900 - v_p^2) \]
Это упрощается до:
\[ 350 \cdot 30 = 12(900 - v_p^2) \]
Шаг 6: Вычислим
Посчитаем \( 350 \cdot 30 \):
\[ 10500 = 10800 - 12 v_p^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 12 v_p^2 = 10800 - 10500 \]
\[ 12 v_p^2 = 300 \]
Шаг 7: Находим скорость течения
Делим обе стороны на 12:
\[ v_p^2 = 25 \implies v_p = 5 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость течения реки составляет 5 км/ч.
