Для решения данной задачи давайте обозначим некоторые переменные, чтобы упростить вычисления:
- Пусть ( v_t ) — скорость теплохода в неподвижной воде (30 км/ч).
- Пусть ( v_p ) — скорость течения реки (которую мы ищем).
- Время, затраченное на путь к пункту назначения (против течения), обозначим как ( t_1 ).
- Время на обратный путь (по течению) обозначим как ( t_2 ).
Шаг 1: Выразим время в пути
Теплоход проходит 175 км до пункта назначения. Скорость теплохода против течения будет равна ( v_t - v_p ) (скорость теплохода минус скорость течения). По пути обратно скорость будет ( v_t + v_p ) (скорость теплохода плюс скорость течения).
Шаг 2: Запишем уравнения для времени
Время в пути против течения:
[
t_1 = \frac{175}{v_t - v_p} = \frac{175}{30 - v_p}
]
Время в пути по течению:
[
t_2 = \frac{175}{v_t + v_p} = \frac{175}{30 + v_p}
]
Шаг 3: Учитываем время стоянки и общее время в пути
По условию стоянка длится 3 часа, а общее время с момента отправления до возвращения составляет 15 часов:
[
t_1 + t_2 + 3 = 15
]
Теперь подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в это уравнение:
[
\frac{175}{30 - v_p} + \frac{175}{30 + v_p} + 3 = 15
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Сначала вычтем 3 из обеих сторон:
[
\frac{175}{30 - v_p} + \frac{175}{30 + v_p} = 12
]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель ( (30 - v_p)(30 + v_p) ):
[
175(30 + v_p) + 175(30 - v_p) = 12(30 - v_p)(30 + v_p)
]
Шаг 5: Упростим и решим уравнение
Раскроем скобки:
[
175 \cdot 30 + 175 v_p + 175 \cdot 30 - 175 v_p = 12(900 - v_p^2)
]
Это упрощается до:
[
350 \cdot 30 = 12(900 - v_p^2)
]
Шаг 6: Вычислим
Посчитаем ( 350 \cdot 30 ):
[
10500 = 10800 - 12 v_p^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
12 v_p^2 = 10800 - 10500
]
[
12 v_p^2 = 300
]
Шаг 7: Находим скорость течения
Делим обе стороны на 12:
[
v_p^2 = 25 \implies v_p = 5 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость течения реки составляет 5 км/ч.
