Смесь метана с азотом и смесь ацетилена с кислородом имеют при одинаковых условиях равную плотность. Вычислите об- ласть допустимых значений для объемной доли метана в пер- вой…

Для решения задачи, давайте проведём анализ смесей и применим понятия из химии и физики. Мы знаем, что плотность газа (ρ) зависит от его молекулярной массы и температуры.

Дано:

• Первая смесь: метан (CH₄) и азот (N₂)
• Вторая смесь: ацетилен (C₂H₂) и кислород (O₂)
• Плотности обеих смесей равны при одинаковых условиях.

Шаг 1: Определение молекулярных масс

Для начала нам нужно узнать молекулярные массы компонентов:

• Молекулярная масса метана (CH₄): \[ M_{CH₄} = 12 + 4 \cdot 1 = 16 \text{ г/моль} \]
• Молекулярная масса азота (N₂): \[ M_{N₂} = 2 \cdot 14 = 28 \text{ г/моль} \]
• Молекулярная масса ацетилена (C₂H₂): \[ M_{C₂H₂} = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 1 = 26 \text{ г/моль} \]
• Молекулярная масса кислорода (O₂): \[ M_{O₂} = 2 \cdot 16 = 32 \text{ г/моль} \]

Шаг 2: Плотность смесей

Плотность смеси можно рассчитать по формуле: \[ \rho = \frac{M_{смешанной}}{V_{смешанной}} \] где \( M_{смешанной} \) — средняя молекулярная масса смеси, \( V_{смешанной} \) — объем смеси.

Для смеси метана и азота: \[ M_{смешанной} = x M_{CH₄} + (1 - x) M_{N₂} \] где \( x \) — объемная доля метана.

Подставляем известные массы: \[ M_{смешанной} = x \cdot 16 + (1 - x) \cdot 28 = 16x + 28 - 28x = -12x + 28 \]

Для смеси ацетилена и кислорода: \[ M_{смешанной} = y M_{C₂H₂} + (1 - y) M_{O₂} \] где \( y \) — объемная доля ацетилена.

Подставляем известные массы: \[ M_{смешанной} = y \cdot 26 + (1 - y) \cdot 32 = 26y + 32 - 32y = -6y + 32 \]

Шаг 3: Уравнение равенства плотностей

Так как плотности смесей равны: \[ -12x + 28 = -6y + 32 \] Принимая во внимание, что объемные доли газов должны находиться в пределах [0, 1], мы можем выразить \( y \) через \( x \) или наоборот.

Шаг 4: Найдем область допустимых значений для \( x \)

Чтобы решить уравнение, выразим \( y \): \[ -12x + 28 + 6y = 32 \implies 6y = 12x + 4 \implies y = 2x + \frac{2}{3} \]

Шаг 5: Следим за ограничениями

Объемная доля ацетилена должна находиться между 0 и 1:

1. \( 0 \leq y \leq 1 \):
   • \( 0 \leq 2x + \frac{2}{3} \implies 2x \geq -\frac{2}{3} \implies x \geq -\frac{1}{3} \) (это всегда выполняется, так как \( x \geq 0 \))
   • \( 2x + \frac{2}{3} \leq 1 \implies 2x \leq \frac{1}{3} \implies x \leq \frac{1}{6} \)

Таким образом, область допустимых значений для объемной доли метана \( x \) в первой смеси: \[ 0 \leq x \leq \frac{1}{6} \]

Ответ

Объемная доля метана в первой смеси может быть от 0 до \( \frac{1}{6} \).