Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Какова вероятность, что из пяти выстрелов он попадёт в цель не более двух раз? Решение подробно
Для решения данной задачи мы используем распределение Бернулли. Стрелок попадает в цель с вероятностью \( p = 0.9 \), соответственно вероятность промаха составляет \( q = 1 - p = 0.1 \).
Мы хотим узнать вероятность того, что он попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов. Это значит, что нас интересуют случаи, когда количество попаданий \( k \) равно 0, 1 или 2. Формула для вычисления вероятности по биномиальному распределению выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) p^k q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальные коэффициенты,
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 5),
- \( k \) — количество успешных испытаний (попаданий),
- \( p \) — вероятность успеха (0.9),
- \( q \) — вероятность неуспеха (0.1).
Сначала вычислим вероятность попаданий при \( k = 0, 1, 2 \):
- Для \( k = 0 \):
\[ P(X = 0) = C(5, 0) (0.9)^0 (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001 \]
- Для \( k = 1 \):
\[ P(X = 1) = C(5, 1) (0.9)^1 (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045 \]
- Для \( k = 2 \):
\[ P(X = 2) = C(5, 2) (0.9)^2 (0.1)^3 = 10 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.001) = 10 \cdot 0.81 \cdot 0.001 = 0.0081 \]
Теперь складываем вероятности для \( k = 0, 1, 2 \):
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
Подставим значения:
\[ P(X \leq 2) = 0.00001 + 0.00045 + 0.0081 = 0.00856 \]
Таким образом, итоговая вероятность того, что стрелок попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов, составляет
\[ \boxed{0.00856} \]
