Для решения данной задачи мы используем распределение Бернулли. Стрелок попадает в цель с вероятностью ( p = 0.9 ), соответственно вероятность промаха составляет ( q = 1 - p = 0.1 ).
Мы хотим узнать вероятность того, что он попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов. Это значит, что нас интересуют случаи, когда количество попаданий ( k ) равно 0, 1 или 2. Формула для вычисления вероятности по биномиальному распределению выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) p^k q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальные коэффициенты,
- ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае 5),
- ( k ) — количество успешных испытаний (попаданий),
- ( p ) — вероятность успеха (0.9),
- ( q ) — вероятность неуспеха (0.1).
Сначала вычислим вероятность попаданий при ( k = 0, 1, 2 ):
- Для ( k = 0 ):
[
P(X = 0) = C(5, 0) (0.9)^0 (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001
]
- Для ( k = 1 ):
[
P(X = 1) = C(5, 1) (0.9)^1 (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045
]
- Для ( k = 2 ):
[
P(X = 2) = C(5, 2) (0.9)^2 (0.1)^3 = 10 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.001) = 10 \cdot 0.81 \cdot 0.001 = 0.0081
]
Теперь складываем вероятности для ( k = 0, 1, 2 ):
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
]
Подставим значения:
[
P(X \leq 2) = 0.00001 + 0.00045 + 0.0081 = 0.00856
]
Таким образом, итоговая вероятность того, что стрелок попадёт в цель не более двух раз из пяти выстрелов, составляет
[
\boxed{0.00856}
]
