Реши

Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого известны, можно использовать теорему Виета. Для квадратного уравнения вида \(x^2 + bx + c = 0\), если корни \(x_1\) и \(x_2\), то:

• Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -b\)
• Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = c\)

Рассмотрим каждое из предложенных случаев.

a) Корни \(x_1 = a\), \(x_2 = -a\)

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = a + (-a) = 0 \] Значит, \(b = 0\).

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = a \cdot (-a) = -a^2 \] Значит, \(c = -a^2\).

Уравнение принимает вид: \[ x^2 + 0\cdot x - a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - a^2 = 0 \]

б) Корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = a\)

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = 1 + a \] Значит, \(b = -(1 + a)\).

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot a = a \] Значит, \(c = a\).

Уравнение принимает вид: \[ x^2 - (1 + a)x + a = 0 \]

Таким образом, уравнения выглядят следующим образом:

• Для пункта a: \(x^2 - a^2 = 0\)
• Для пункта б: \(x^2 - (1 + a)x + a = 0\)