Сколько слов из четырёх букв, которые начинаются на «Т», можно составить из букв слова «Оптика»? Буквы в слове не должны повторяться.

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями:

1. Слово должно состоять из 4 букв.
2. Первая буква — «Т».
3. Буквы в слове не должны повторяться.
4. Используем буквы слова «Оптика», которые состоят из букв: О, П, Т, И, К, А.

Первый шаг — определим доступные буквы. У нас есть следующие буквы: О, П, И, К, А. Поскольку первая буква должна быть «Т», то мы будем использовать только оставшиеся буквы.

Теперь нам нужно выбрать 3 оставшиеся буквы из набора: О, П, И, К, А.

Общее количество букв в наборе без «Т» — 5 (О, П, И, К, А).

Шаг 1: Выбор букв

Мы выбираем 3 буквы. Существует несколько комбинаций из 5 букв, где нам нужно выбрать 3. То есть, мы можем выразить это через сочетания:

Количество способов выбрать 3 буквы из 5:
\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10. \]

Шаг 2: Расстановка букв

После того как мы выбрали 3 буквы, нужно учитывать, что их можно переставить. Число перестановок этих 3 букв равно 3! (факториал от 3):

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6. \]

Шаг 3: Общее количество слов

Теперь умножим количество способов выбрать буквы на количество способов их расположить:

\[ 10 \text{ (выбор букв)} \times 6 \text{ (перестановки)} = 60. \]

Таким образом, можно составить 60 различных слов из 4 букв, которые начинаются на «Т», из букв слова «Оптика».