Упростите выражение: (cos2a-sin²a)/(2sin²a-cos²a)

Для упрощения выражения \((\cos 2a - \sin^2 a)/(2 \sin^2 a - \cos^2 a)\) будем использовать тригонометрические тождества. ### Шаг 1: Замена \(\cos 2a\) Согласно тригонометрическим тождествам, \(\cos 2a\) можно выразить через \(\sin^2 a\) и \(\cos^2 a\): \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] ### Шаг 2: Подстановка Подставим это в наше выражение: \[ (\cos^2 a - \sin^2 a - \sin^2 a) / (2 \sin^2 a - \cos^2 a) \] Это равно: \[ (\cos^2 a - 2\sin^2 a) / (2 \sin^2 a - \cos^2 a) \] ### Шаг 3: Использование тождества \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) Теперь мы можем выразить \(\cos^2 a\) через \(\sin^2 a\): \[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \] Таким образом, выражение становится: \[ ((1 - \sin^2 a) - 2\sin^2 a) / (2 \sin^2 a - (1 - \sin^2 a)) \] ### Шаг 4: Упрощение числителя Упростим числитель: \[ 1 - \sin^2 a - 2\sin^2 a = 1 - 3\sin^2 a \] ### Шаг 5: Упрощение знаменателя Теперь упростим знаменатель: \[ 2\sin^2 a - (1 - \sin^2 a) = 2\sin^2 a - 1 + \sin^2 a = 3\sin^2 a - 1 \] ### Шаг 6: Итоговое выражение Теперь мы можем записать наше выражение как: \[ \frac{1 - 3\sin^2 a}{3\sin^2 a - 1} \] ### Шаг 7: Проверка на возможность сокращения Мы можем заметить, что числитель и знаменатель имеют аналогичную структуру, но не являются равными по значению, и фактически можно записать итоговое выражение в таком виде: \[ -\frac{(3\sin^2 a - 1)}{(3\sin^2 a - 1)} = -1, \quad \text{при условии } 3\sin^2 a \neq 1 \] ### Ответ Таким образом, итоговое упрощенное выражение: \[ -\frac{1 - 3\sin^2 a}{3\sin^2 a - 1} \] Также в случаях, когда \(3\sin^2 a \neq 1\), можно сказать, что окончательный ответ будет: \[ -1 \] Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно пояснить какой-то из шагов, не стесняйтесь спрашивать!