Длина окружности описанной около квадрата равна 14П см. Найдите длину окружности вписанной в этом квадрате
Чтобы решить задачу, давай сначала вспомним, что такое квадрат и как связаны длины окружностей, описанной и вписанной в квадрат.
Определим, что такое квадрат: Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые.
Длина окружности, описанная около квадрата: Длина окружности, описанной около квадрата, равна 14π см. Эта окружность проходит через все вершины квадрата.
Длина окружности определяется формулой: \[ L = 2\pi R \] где \(L\) — длина окружности, а \(R\) — радиус окружности.
Для описанной окружности квадрат радиуса \(R\) можно выразить через сторону квадрата \(a\) следующим образом: \[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]
Подставим это в формулу длины окружности: \[ L = 2\pi \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right) = \pi a \sqrt{2} \]
Мы знаем, что \(L = 14\pi\): \[ \pi a \sqrt{2} = 14\pi \]
Упростим уравнение: \[ a \sqrt{2} = 14 \]
Теперь найдем сторону квадрата \(a\): \[ a = \frac{14}{\sqrt{2}} = 14 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \]
Длина окружности, вписанная в квадрат: Длина окружности, вписанной в квадрат, равна: \[ L_{вписанной} = 2\pi r \] где \(r\) — радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности для квадрата равен половине его стороны: \[ r = \frac{a}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \]
Теперь подставим это значение в формулу для длины окружности: \[ L_{вписанной} = 2\pi \left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right) = 7\sqrt{2}\pi \]
Ответ: Таким образом, длина окружности, вписанной в квадрат, равна \(7\sqrt{2}\pi\) см.
