Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 56 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения задачи начнем с обозначения необходимых переменных:

• Пусть \( A \) — производительность первого дизайнера (время, за которое он может выполнить всю работу в часах).
• Пусть \( B \) — производительность второго дизайнера (время, за которое он также может выполнить всю работу в часах).

Шаг 1: Определим скорости дизайнеров.

Скорость выполнения работы дизайнера можно определить как обратную величину к времени:

• Скорость первого дизайнера: \( \frac{1}{A} \) (часть работы, выполненная за 1 час)
• Скорость второго дизайнера: \( \frac{1}{B} \)

Когда оба дизайнера работают вместе, их общая скорость будет: \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \]

Шаг 2: Составим уравнение для совместной работы.

По условию, если оба дизайнера работают вместе, они выполнят работу за 56 часов: \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{56} \]

Шаг 3: Определим уравнение для поочередной работы.

Если один дизайнер выполняет половину работы, а затем другой завершает оставшуюся половину, это можно выразить следующим образом. Половину работы (\( \frac{1}{2} \)) выполняет первый дизайнер за \( \frac{1}{2}A \) часов, а затем второй завершает за \( \frac{1}{2}B \): \[ \frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B = 121 \]

Упростим это уравнение, умножив обе стороны на 2: \[ A + B = 242 \]

Шаг 4: Теперь у нас есть система уравнений.

Мы имеем две системы уравнений:

1. \(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{56}\)
2. \(A + B = 242\)

Шаг 5: Выразим \( B \) через \( A \) из второго уравнения.

\[ B = 242 - A \]

Шаг 6: Подставим \( B \) в первое уравнение.

В подставляем: \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{242 - A} = \frac{1}{56} \]

Шаг 7: Найдем общий знаменатель и упростим уравнение.

Умножим обе стороны на \( 56A(242 - A) \): \[ 56(242 - A) + 56A = A(242 - A) \] \[ 13552 - 56A + 56A = 242A - A^2 \] \[ 13552 = 242A - A^2 \]

Шаг 8: Приведем уравнение к стандартному виду.

Перепишем уравнение: \[ A^2 - 242A + 13552 = 0 \]

Шаг 9: Решим квадратное уравнение.

Для решения используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-242)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13552 \] \[ D = 58564 - 54208 = 4356 \]

Теперь найдём корни: \[ A = \frac{242 \pm \sqrt{4356}}{2} = \frac{242 \pm 66}{2} \] Первый корень: \[ A_1 = \frac{308}{2} = 154 \] Второй корень: \[ A_2 = \frac{176}{2} = 88 \]

Так, \( A \) может быть 154 часов или 88 часов.

Шаг 10: Находим \( B \).

Для \( A = 154 \): \[ B = 242 - 154 = 88 \]

Для \( A = 88 \): \[ B = 242 - 88 = 154 \]

Таким образом, дизайнеры могут оформлять учебник алгебры по времени:

• Первый дизайнер оформляет учебник за 154 часа.
• Второй дизайнер оформляет учебник за 88 часа.

Итак, каждый дизайнер, работая отдельно, смог бы оформить учебник за 154 и 88 часов соответственно.