Для решения задачи начнем с обозначения необходимых переменных:
- Пусть ( A ) — производительность первого дизайнера (время, за которое он может выполнить всю работу в часах).
- Пусть ( B ) — производительность второго дизайнера (время, за которое он также может выполнить всю работу в часах).
Шаг 1: Определим скорости дизайнеров.
Скорость выполнения работы дизайнера можно определить как обратную величину к времени:
- Скорость первого дизайнера: ( \frac{1}{A} ) (часть работы, выполненная за 1 час)
- Скорость второго дизайнера: ( \frac{1}{B} )
Когда оба дизайнера работают вместе, их общая скорость будет:
[
\frac{1}{A} + \frac{1}{B}
]
Шаг 2: Составим уравнение для совместной работы.
По условию, если оба дизайнера работают вместе, они выполнят работу за 56 часов:
[
\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{56}
]
Шаг 3: Определим уравнение для поочередной работы.
Если один дизайнер выполняет половину работы, а затем другой завершает оставшуюся половину, это можно выразить следующим образом. Половину работы (( \frac{1}{2} )) выполняет первый дизайнер за ( \frac{1}{2}A ) часов, а затем второй завершает за ( \frac{1}{2}B ):
[
\frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B = 121
]
Упростим это уравнение, умножив обе стороны на 2:
[
A + B = 242
]
Шаг 4: Теперь у нас есть система уравнений.
Мы имеем две системы уравнений:
- (\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{56})
- (A + B = 242)
Шаг 5: Выразим ( B ) через ( A ) из второго уравнения.
[
B = 242 - A
]
Шаг 6: Подставим ( B ) в первое уравнение.
В подставляем:
[
\frac{1}{A} + \frac{1}{242 - A} = \frac{1}{56}
]
Шаг 7: Найдем общий знаменатель и упростим уравнение.
Умножим обе стороны на ( 56A(242 - A) ):
[
56(242 - A) + 56A = A(242 - A)
]
[
13552 - 56A + 56A = 242A - A^2
]
[
13552 = 242A - A^2
]
Шаг 8: Приведем уравнение к стандартному виду.
Перепишем уравнение:
[
A^2 - 242A + 13552 = 0
]
Шаг 9: Решим квадратное уравнение.
Для решения используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-242)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13552
]
[
D = 58564 - 54208 = 4356
]
Теперь найдём корни:
[
A = \frac{242 \pm \sqrt{4356}}{2} = \frac{242 \pm 66}{2}
]
Первый корень:
[
A_1 = \frac{308}{2} = 154
]
Второй корень:
[
A_2 = \frac{176}{2} = 88
]
Так, ( A ) может быть 154 часов или 88 часов.
Шаг 10: Находим ( B ).
Для ( A = 154 ):
[
B = 242 - 154 = 88
]
Для ( A = 88 ):
[
B = 242 - 88 = 154
]
Таким образом, дизайнеры могут оформлять учебник алгебры по времени:
- Первый дизайнер оформляет учебник за 154 часа.
- Второй дизайнер оформляет учебник за 88 часа.
Итак, каждый дизайнер, работая отдельно, смог бы оформить учебник за 154 и 88 часов соответственно.
