Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Для решения этой задачи, давайте разберем ситуацию пошагово. 1. **Определим данное:** - Расстояние между пристанями А и В = 126 км. - Плот проплыл 36 км, когда моторная лодка вернулась в А. - Скорость течения реки = 4 км/ч. - Моторная лодка отправилась в путь через 1 час после плота. 2. **Скорость плота:** Плот движется по течению реки, поэтому его скорость равна скорости течения реки: \[ V_{\text{плот}} = V_{\text{течение}} = 4 \text{ км/ч} \] 3. **Время в пути для плота:** Пусть \( t \) обозначает время, которое плот движется до того, как лодка вернется в А. За это время плот проплыл 36 км. Используем формулу времени: \[ t_{\text{плот}} = \frac{S}{V} = \frac{36 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 9 \text{ ч} \] Но это время — только время движения плота. Поскольку лодка отправилась через 1 час после плота, она двигалась 8 часов для того, чтобы не только добраться до В, но и вернуться до А. 4. **Скорость моторной лодки:** Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде — \( V_{\text{лодка}} \). Чтобы найти эту скорость, сначала определим, сколько времени потратила лодка на путь от А до В и обратно. **Движение от А до В:** \[ t_{\text{лодка, туда}} = \frac{126 \text{ км}}{V_{\text{лодка}} + 4 \text{ км/ч}} \] **Движение от В до А:** \[ t_{\text{лодка, обратно}} = \frac{126 \text{ км}}{V_{\text{лодка}} - 4 \text{ км/ч}} \] **Общее время в пути для лодки:** \[ t_{\text{лодка}} = t_{\text{лодка, туда}} + t_{\text{лодка, обратно}} = \frac{126}{V_{\text{лодка}} + 4} + \frac{126}{V_{\text{лодка}} - 4} \] 5. **Объединим уравнения, зная общее время:** Время, за которое лодка добралась до В и вернулась в А, совпадает с временем, которое провел плот в движении (9 часов): \[ \frac{126}{V_{\text{лодка}} + 4} + \frac{126}{V_{\text{лодка}} - 4} = 8 \] 6. **Умножим на общие знаменатели:** Упростим уравнение: \[ 126(V_{\text{лодка}} - 4) + 126(V_{\text{лодка}} + 4) = 8(V_{\text{лодка}}^2 - 16) \] \[ 126V_{\text{лодка}} - 504 + 126V_{\text{лодка}} + 504 = 8V_{\text{лодка}}^2 - 128 \] \[ 252V_{\text{лодка}} = 8V_{\text{лодка}}^2 - 128 \] 7. **Переписываем уравнение:** \[ 8V_{\text{лодка}}^2 - 252V_{\text{лодка}} - 128 = 0 \] 8. **Решим квадратное уравнение:** Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-252)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-128) = 63504 + 4096 = 67600 \] Находим корни: \[ V_{\text{лодка}} = \frac{-(-252) \pm \sqrt{67600}}{2 \cdot 8} \] \[ V_{\text{лодка}} = \frac{252 \pm 260}{16} \] То есть: \[ V_{\text{лодка1}} = \frac{512}{16} = 32 \text{ км/ч} \] \[ V_{\text{лодка2}} = \frac{-8}{16} = -0.5 \text{ (не подходит)} \] 9. **Ответ:** Скорость моторной лодки в неподвижной воде равна 32 км/ч.