Чтобы решить задачу, нам нужно учесть два основных момента: скорость лодки относительно воды и скорость течения реки.
Шаг 1: Определим скорость лодки относительно берега.
Скорость лодки (V_лодки) составляет 18 км/ч.
Скорость течения реки (V_течения) составляет 2 км/ч.
Когда лодка плывет против течения реки, ее скорость относительно берега будет:
[ V_{\text{против}} = V_{\text{лодки}} - V_{\text{течения}} = 18 , \text{км/ч} - 2 , \text{км/ч} = 16 , \text{км/ч}. ]
Когда лодка плывет по течению, ее скорость будет:
[ V_{\text{по}} = V_{\text{лодки}} + V_{\text{течения}} = 18 , \text{км/ч} + 2 , \text{км/ч} = 20 , \text{км/ч}. ]
Шаг 2: Определим общее время путешествия.
Семья Дмитрия должна вернуться в отель не позднее, чем через 3 часа. Это время включает в себя как путь по течению, так и путь против течения. Пусть ( d ) — это расстояние до точки, где они хотят остановиться. Таким образом, время на путь в одну сторону:
По течению:
[ t_{\text{по}} = \frac{d}{V_{\text{по}}} = \frac{d}{20} , \text{ч.} ]
Против течения:
[ t_{\text{против}} = \frac{d}{V_{\text{против}}} = \frac{d}{16} , \text{ч.}. ]
Общее время:
[ t_{\text{общ}} = t_{\text{по}} + t_{\text{против}}. ]
Шаг 3: Составим уравнение для общего времени.
Учитывая, что общее время не должно превышать 3 часа:
[ \frac{d}{20} + \frac{d}{16} \leq 3. ]
Шаг 4: Приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 20 и 16 — 80:
[ \frac{d}{20} = \frac{4d}{80}, ]
[ \frac{d}{16} = \frac{5d}{80}. ]
Теперь уравнение выглядит так:
[ \frac{4d}{80} + \frac{5d}{80} \leq 3. ]
Сложим дроби:
[ \frac{9d}{80} \leq 3. ]
Шаг 5: Умножим обе стороны на 80 для избавления от дроби:
[ 9d \leq 240. ]
Шаг 6: Разделим обе стороны на 9:
[ d \leq \frac{240}{9}. ]
[ d \leq 26.67 , \text{км}. ]
Так как нам нужно целое число, максимальное расстояние, на которое может отплыть семья от отеля, равно 26 км.
Ответ: 26 км.
