В школьной команде по микрофутболу три игрока: один вратарь и два полевых игрока. Сколькими способами можно создать команду из пяти школьников?

Для решения задачи воспользуемся комбинаторикой.

У нас есть 5 школьников и нужно выбрать команду из 3 игроков: 1 вратарь и 2 полевых игрока.

Шаг 1: Выбор вратаря

Сначала мы выберем вратаря. У нас есть 5 вариантов (по количеству школьников), которые могут стать вратарём.

Шаг 2: Выбор полевых игроков

После того как мы выбрали вратаря, у нас остаётся 4 школьника (поскольку вратарь уже выбран). Теперь нужно выбрать 2 полевых игрока из этих 4 оставшихся.

Для выбора 2 игроков из 4 мы можем использовать формулу сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 4), \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 2), и \( ! \) — факториал числа.

Подставляем значения в формулу:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \]

То есть, есть 6 способов выбрать 2 полевых игрока из оставшихся 4 школьников.

Шаг 3: Подсчет всех возможных команд

Теперь, чтобы найти общее количество способов создать команду, нужно умножить количество способов выбрать вратаря на количество способов выбрать полевых игроков:

\[ 5 \text{ (способов выбрать вратаря)} \times 6 \text{ (способов выбрать полевых игроков)} = 30 \]

Таким образом, общее количество способов создать команду из 5 школьников, в которой один будет вратарем, а двое — полевыми игроками, равно 30.