Боковое ребро правильной усечённой треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 6 и 11. Ответ запиши корнем

Чтобы решить задачу, мы воспользуемся геометрическими свойствами правильной усечённой треугольной пирамиды. 1. **Определение усечённой пирамиды**: Правильная усечённая треугольная пирамида — это фигура с двумя параллельными треугольными основаниями (нижним и верхним), где боковые грани являются треугольниками. 2. **Исходные данные**: - Стороны нижнего основания (S1) = 11. - Стороны верхнего основания (S2) = 6. - Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (α) = 30°. 3. **Высота пирамиды**: Высота пирамиды (h) перпендикулярна к плоскости оснований. Чтобы найти эту высоту, применим тригонометрию. 4. **Отношение сторон**: Для получения высоты из бокового ребра, воспользуемся основным тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: \[ h = l \cdot \sin(α) \] Здесь \(l\) — длина бокового ребра. 5. **Нахождение длины бокового ребра (l)**: Для усечённой треугольной пирамиды, длина бокового ребра вычисляется с использованием разности радиусов оснований и высоты. Нам нужно еще найти расстояние между центрами оснований и половину разности сторон. Параллельные грани (вершины) находятся ближе друг к другу, и боковое ребро образует по высоте равнобедренные треугольники: \[ \text{разность оснований} = \frac{S1 - S2}{2} = \frac{11 - 6}{2} = 2.5 \] Теперь, так как угол к основанию 30°, по теореме Пифагора: \[ l^2 = h^2 + (2.5)^2 \] Подставим \(h\): \[ l^2 = h^2 + 6.25 \] 6. **Получаем уравнение с высотой**: Используя \(h = l \cdot \sin(30°)\), где \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\): \[ h = \frac{l}{2} \] Подставляем в уравнение: \[ l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + 6.25 \] Упрощаем: \[ l^2 = \frac{l^2}{4} + 6.25 \] Умножим на 4: \[ 4l^2 = l^2 + 25 \] Переносим влево: \[ 3l^2 = 25 \] Делим на 3: \[ l^2 = \frac{25}{3} \] Поэтому \[ l = \frac{5}{\sqrt{3}} \] 7. **Нахождение высоты**: Теперь подставляем в выражение для высоты: \[ h = \frac{l}{2} = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \] Таким образом, высота правильной усечённой треугольной пирамиды равна: \[ h = \frac{5 \sqrt{3}}{6} \]