Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых обладает следующими свойствами: состоит из 6 цифр; содержит ровно две цифры3, причем не стоящие рядом; между этими двумя…

Рассмотрим задачу поэтапно.

1. Определение условий: Мы ищем 6-значные числа в восьмеричной системе счисления, которые:

   • Содержат ровно две цифры 3,
   • Цифры 3 не стоят рядом,
   • Между этими двумя тройками находятся только цифры, числовое значение которых больше 3 (т.е. 4, 5, 6 или 7).

2. Структура числа: Число состоит из 6 цифр. Пусть у нас есть два места для цифр 3, обозначим их как \( P_1 \) и \( P_2 \). Оставшиеся 4 позиции могут быть заполнены цифрами от 4 до 7 (восьмеричная система: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

3. Выбор позиций для чисел 3: Чтобы цифры 3 не стояли рядом, мы должны разместить два знака 3 так, чтобы между ними находились любые из цифр 4, 5, 6 или 7, которые мы определим позже. Возможные варианты размещения 3 следуют следующим образом:

   Если \( P_1 \) – позиция первой тройки, а \( P_2 \) – позиция второй тройки, то возможные позиции для 3 следующие:

   • (3, . , . , 3, . , .) \( (P_1 = 1, P_2 = 4) \)
   • (3, . , . , . , 3, .) \( (P_1 = 1, P_2 = 5) \)
   • (3, . , . , . , . , 3) \( (P_1 = 1, P_2 = 6) \)
   • (. , 3, . , 3, . , .) \( (P_1 = 2, P_2 = 4) \)
   • (. , 3, . , . , 3, .) \( (P_1 = 2, P_2 = 5) \)
   • (. , 3, . , . , . , 3) \( (P_1 = 2, P_2 = 6) \)
   • (. , . , 3, . , 3, .) \( (P_1 = 3, P_2 = 5) \)
   • (. , . , 3, . , . , 3) \( (P_1 = 3, P_2 = 6) \)
   • (. , . , . , 3, . , 3) \( (P_1 = 4, P_2 = 6) \)

   Всего таких комбинаций 8.

4. Заполнение оставшихся позиций: После выбора мест для 3 у нас остается 4 позиции, которые могут занимать любые из цифр от 4 до 7. Поскольку у нас дается 4 возможные цифры и каждая из оставшихся 4 позиций может быть заполнена одной из этих 4 цифр, количество способов заполнить оставшиеся позиции для каждого размещения 3 равно \( 4^4 \).

5. Полный подсчет: Мы знаем, что у нас 8 различных вариантов расстановки цифр 3. Каждую из этих расстановок можно дополнить \( 4^4 \) способами. Таким образом, общее количество чисел: \[ N = 8 \times 4^4 \] \[ N = 8 \times 256 = 2048 \]

Итак, ответ на задачу: 2048.