в зрительном зале кинотеатра было 320 мест. после того как число вместо в каждом ряду увеличилось на четыре и добавили ещё один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. сколько…

Давайте разберем задачу поэтапно.

У нас есть:

1. Исходные данные:

   • Известно, что в зрительном зале кинотеатра было 320 мест.
   • После увеличения числа мест в каждом ряду на 4 и добавления ещё одного ряда, количество мест стало 420.

2. Обозначим переменные:

   • Пусть \( x \) — количество рядов в исходном зрительном зале.
   • Пусть \( y \) — количество мест в каждом ряду в исходном зрительном зале.

Согласно условию задачи, мы имеем уравнение для исходного количества мест: \[ x \cdot y = 320 \]

После увеличения количества мест в ряду на 4 и добавления одного ряда, общее количество мест стало 420: \[ (x + 1)(y + 4) = 420 \]

3. Решим систему уравнений: У нас два уравнения:

   1. \( xy = 320 \)
   2. \( (x + 1)(y + 4) = 420 \)

Теперь можем подставить \( y \) из первого уравнения во второе. Исключим \( y \):

Из первого уравнения выразим \( y \): \[ y = \frac{320}{x} \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ (x + 1)\left(\frac{320}{x} + 4\right) = 420 \]

Упрощаем: \[ (x + 1) \left(\frac{320 + 4x}{x}\right) = 420 \] \[ \frac{(x + 1)(320 + 4x)}{x} = 420 \]

Теперь произведем умножение: \[ (x + 1)(320 + 4x) = 420x \]

Раскроем скобки: \[ 320x + 4x^2 + 320 + 4x = 420x \] \[ 4x^2 + 320 - 100x = 0 \]

Теперь получаем квадратное уравнение: \[ 4x^2 - 100x + 320 = 0 \]

Разделим всё на 4 для упрощения: \[ x^2 - 25x + 80 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 625 - 320 = 305 \]

Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 \pm \sqrt{305}}{2} \]

Корень из \( 305 \) примерно равен \( 17.46 \): \[ x \approx \frac{25 \pm 17.46}{2} \] Это дает два значения:

1. \( x \approx \frac{42.46}{2} \approx 21.23 \) (не подходит, так как должно быть целым числом)
2. \( x \approx \frac{7.54}{2} \approx 3.77 \) (также не подходит)

Поскольку необходимо найти целое положительное значение, можно обратиться к целым числам, которые делят 320.

Проверим возможные целые значения:

• Если \( x = 16 \), то \( y = 20 \); проверим: \( (16 + 1)(20 + 4) = 17 \cdot 24 = 408 \) (не подходит)
• Если \( x = 20 \), то \( y = 16 \); проверим: \( (20 + 1)(16 + 4) = 21 \cdot 20 = 420 \) (подходит)

Таким образом, было 20 рядов. После добавления одного ряда, стало 21 ряд.

Ответ: В зрительном зале кинотеатра стало 21 ряд.