В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 1 000 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. При необходимости, округлите ответ ДО ДВУХ знаков после запятой.
Для решения данной задачи нам нужно определить величину номинала облигации \( X \), принимая во внимание, что мы могли бы инвестировать 1 000 000 рублей под 10% годовых.
Шаг 1: Определение будущей стоимости денег
Сначала найдем, сколько денег мы могли бы получить через 5 лет, если бы мы положили 1 000 000 рублей на депозит под 10% годовых. Формула для расчета будущей стоимости (с учетом капитальных процентов) выглядит следующим образом:
\[ FV = PV \cdot (1 + r)^n \]
где:
- \( FV \) — будущая стоимость,
- \( PV \) — текущая сумма денег (1 000 000 рублей),
- \( r \) — годовая процентная ставка (10% или 0.1),
- \( n \) — количество лет (5 лет).
Подставляем значения:
\[ FV = 1,000,000 \cdot (1 + 0.1)^5 = 1,000,000 \cdot (1.1)^5 \]
Теперь расчитаем \( (1.1)^5 \):
\[ 1.1^5 \approx 1.61051 \] \[ FV \approx 1,000,000 \cdot 1.61051 \approx 1,610,510.51 \text{ рублей} \]
Шаг 2: Будущие денежные потоки от облигаций
Теперь нам нужно понять, какие денежные потоки будут поступать от облигаций. Каждая облигация будет приносить 1000 рублей в конце каждого года, и в конце пятого года — дополнительно номинал \( X \).
Общая сумма поступлений от 100 облигаций составит:
- В течение первых четырех лет (1000 рублей за облигацию):
\[ 4 \cdot 100 \cdot 1000 = 400,000 \]
- В пятом году (1000 рублей + \( X \) за облигацию):
\[ 100 \cdot (1000 + X) = 100,000 + 100X \]
Итак, общая сумма денежных потоков за 5 лет составит:
\[ 400,000 + (100,000 + 100X) = 500,000 + 100X \]
Шаг 3: Установление равенства текущей стоимости
Для того чтобы мы согласились на облигации вместо 1 000 000 рублей, текущая стоимость доходов от облигаций должна быть равна будущей стоимости, которую мы получили бы от 1 000 000 рублей под 10%.
Используем формулу текущей стоимости для каждого года:
\[ PV = \frac{C}{(1 + r)^n} \]
где \( C \) — денежный поток. Мы рассчитаем текущую стоимость для каждого года.
Первые четыре года по 400,000 рублей: \[ PV_1 = \frac{100,000}{(1.1)^1} + \frac{100,000}{(1.1)^2} + \frac{100,000}{(1.1)^3} + \frac{100,000}{(1.1)^4} \]
В пятом году: \[ PV_5 = \frac{100,000 + 100X}{(1.1)^5} \]
Теперь складываем все:
\[ PV_{total} = \left( \frac{100,000}{(1.1)^1} + \frac{100,000}{(1.1)^2} + \frac{100,000}{(1.1)^3} + \frac{100,000}{(1.1)^4} \right) + \frac{100,000 + 100X}{(1.1)^5} \]
Шаг 4: Равенство 1,610,510.51
У нас должно быть:
\[ PV_{total} = 1,610,510.51 \]
Теперь рассчитаем \(PV\) для каждого года:
- Для год №1: \[ PV_1 = \frac{100,000}{1.1} \approx 90,909.09 \]
- Для год №2: \[ PV_2 = \frac{100,000}{(1.1)^2} \approx 82,644.63 \]
- Для год №3: \[ PV_3 = \frac{100,000}{(1.1)^3} \approx 75,131.48 \]
- Для год №4: \[ PV_4 = \frac{100,000}{(1.1)^4} \approx 68,301.36 \]
- Для год №5, добавляем \(PV_5\): \[ PV_5 = \frac{100,000 + 100X}{(1.1)^5} \approx \frac{100,000 + 100X}{1.61051} \]
Шаг 5: Объединение всех условий
Сложив предыдущие полученные значения:
\[ PV_{total} = 90,909.09 + 82,644.63 + 75,131.48 + 68,301.36 + \frac{100,000 + 100X}{1.61051} \]
Результат должен равняться \( 1,610,510.51 \).
Решение уравнения
Теперь складываем:
\[ 90,909.09 + 82,644.63 + 75,131.48 + 68,301.36 \approx 317,986.56 \]
Таким образом у нас есть:
\[ \frac{100,000 + 100X}{1.61051} = 1,610,510.51 - 317,986.56 \]
Решаем:
\[ \frac{100,000 + 100X}{1.61051} \approx 1,292,523.95 \]
Умножаем обе стороны на \(1.61051\):
\[ 100,000 + 100X \approx 1,292,523.95 \cdot 1.61051 \approx 2,084,326.56 \]
Теперь изолируем \(X\):
\[ 100X \approx 2,084,326.56 - 100,000 \] \[ 100X \approx 1,984,326.56 \] \[ X \approx \frac{1,984,326.56}{100} \approx 19,843.27 \]
Ответ:
Таким образом, величина \( X \), при которой вы согласитесь принять облигации вместо 1 000 000 рублей, равна 19,843.27 рублей (или округлено, 19,843.30 рублей).
