Средняя линия трапеции равна 17. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Для решения данной задачи начнем с формулирования необходимых понятий и обозначений.

Пусть у нас есть трапеция \( ABCD \), где \( AB \) и \( CD \) — основания. Обозначим:

• \( AB = a \) (большее основание),
• \( CD = b \) (меньшее основание),
• Средняя линия трапеции \( MN = 17 \), где \( M \) и \( N \) — середины боковых сторон \( AD \) и \( BC \).

Известно, что средняя линия трапеции рассчитывается по формуле:

\[ MN = \frac{a + b}{2} \]

Из этого следует:

\[ \frac{a + b}{2} = 17 \]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ a + b = 34 \quad (1) \]

Теперь рассматриваем диагонали \( AC \) и \( BD \), которые пересекаются в точке \( O \). Предположим, что отрезок \( AO \) и отрезок \( OC \) делят диагонали так, что разность длин этих отрезков равна 5. Обозначим:

• \( AO = x \)
• \( OC = x - 5 \)

Следовательно, суммируя, мы получаем:

\[ x + (x - 5) = AC \implies 2x - 5 = AC \quad (2) \]

Из этого уравнения мы можем выразить \( x \):

\[ 2x = AC + 5 \implies x = \frac{AC + 5}{2} \]

Обратите внимание, что в данной задаче в расчетах пока не использованы длины оснований непосредственно, поэтому необходимо вернуть к уравнению (1).

Теперь, поскольку нам нужно найти меньшее основание \( b \), мы можем воспользоваться помощью направления разности. Мы знаем, что разность между основанием и меньшим основанием может выражаться как:

\[ a - b = k \quad (3) \]

где \( k \) — разность, равная 5 согласно условию.

Теперь существует система из трех уравнений (1), (3), где \( a + b = 34 \) и \( a - b = 5 \). Запишем эту систему:

\[ \begin{cases} a + b = 34 \quad (1)\\ a - b = 5 \quad (3) \end{cases} \]

Теперь сложим оба уравнения:

\[ (a + b) + (a - b) = 34 + 5 \] \[ 2a = 39 \implies a = 19.5 \]

Теперь подставим значение \( a \) в одно из уравнений, например, в уравнение (1):

\[ 19.5 + b = 34 \] \[ b = 34 - 19.5 = 14.5 \]

Итак, меньшее основание трапеции \( CD \) равно:

\[ \boxed{14.5} \]

Это и есть ответ на нашу задачу.