Эта задача относится к области теории вероятностей и называется задачей о Байесовской вероятности. Чтобы ее решить, мы можем воспользоваться формулой Байеса.
Данные задачи:
Изготовлено деталей:
- Первый рабочий: ( N_1 = 1200 )
- Второй рабочий: ( N_2 = 900 )
- Третий рабочий: ( N_3 = 1300 )
Вероятности брака:
- Для первого рабочего: ( P(B | R_1) = 0,025 )
- Для второго рабочего: ( P(B | R_2) = 0,02 )
- Для третьего рабочего: ( P(B | R_3) = 0,04 )
Шаг 1: Найдем общее количество деталей
Общее количество деталей, изготовленных всеми рабочими:
[
N_{\text{total}} = N_1 + N_2 + N_3 = 1200 + 900 + 1300 = 3400
]
Шаг 2: Найдем вероятности выбора детали от каждого рабочего
Вероятности того, что случайно выбранная деталь изготовлена каждым рабочим:
[
P(R_1) = \frac{N_1}{N_{\text{total}}} = \frac{1200}{3400} = \frac{12}{34} = \frac{6}{17}
]
[
P(R_2) = \frac{N_2}{N_{\text{total}}} = \frac{900}{3400} = \frac{9}{34}
]
[
P(R_3) = \frac{N_3}{N_{\text{total}}} = \frac{1300}{3400} = \frac{13}{34}
]
Шаг 3: Найдем полную вероятность выбрать бракованную деталь
Полная вероятность того, что случайная деталь бракованная, считается с использованием закона полной вероятности:
[
P(B) = P(B | R_1) P(R_1) + P(B | R_2) P(R_2) + P(B | R_3) P(R_3)
]
Подставим известные значения:
[
P(B) = 0,025 \cdot \frac{6}{17} + 0,02 \cdot \frac{9}{34} + 0,04 \cdot \frac{13}{34}
]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
- Для первого рабочего:
[
0,025 \cdot \frac{6}{17} = \frac{0,15}{17}
]
- Для второго рабочего:
[
0,02 \cdot \frac{9}{34} = \frac{0,18}{34}
]
- Для третьего рабочего:
[
0,04 \cdot \frac{13}{34} = \frac{0,52}{34}
]
Теперь приведем всё к одному знаменателю:
[
P(B) = \frac{0,15 \cdot 2}{34} + \frac{0,18}{34} + \frac{0,52}{34} = \frac{0,30 + 0,18 + 0,52}{34} = \frac{1,00}{34}
]
Шаг 4: Найдем вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым рабочим
Теперь нам нужна вероятность того, что бракованная деталь пришла от первого рабочего:
[
P(R_1 | B) = \frac{P(B | R_1) P(R_1)}{P(B)}
]
Подставим все известные значения:
[
P(R_1 | B) = \frac{0,025 \cdot \frac{6}{17}}{\frac{1}{34}}
]
Это выражение можно упростить:
[
P(R_1 | B) = 0,025 \cdot \frac{6}{17} \cdot 34 = 0,025 \cdot \frac{204}{17} = 0,025 \cdot 12 = 0,3
]
Ответ
Вероятность того, что бракованная деталь была изготовлена первым рабочим, равна ( 0,3 ) или 30%.
