Трое рабочих в цеху изготавливают одинаковые детали. Первый рабочий изготовил 1200 дєталей, второй — 900 деталей, а третий — 1300 деталей. Вероятность того, что деталь изготовлена…

Эта задача относится к области теории вероятностей и называется задачей о Байесовской вероятности. Чтобы ее решить, мы можем воспользоваться формулой Байеса.

Данные задачи:

• Изготовлено деталей:

  • Первый рабочий: \( N_1 = 1200 \)
  • Второй рабочий: \( N_2 = 900 \)
  • Третий рабочий: \( N_3 = 1300 \)

• Вероятности брака:

  • Для первого рабочего: \( P(B | R_1) = 0,025 \)
  • Для второго рабочего: \( P(B | R_2) = 0,02 \)
  • Для третьего рабочего: \( P(B | R_3) = 0,04 \)

Шаг 1: Найдем общее количество деталей

Общее количество деталей, изготовленных всеми рабочими: \[ N_{\text{total}} = N_1 + N_2 + N_3 = 1200 + 900 + 1300 = 3400 \]

Шаг 2: Найдем вероятности выбора детали от каждого рабочего

Вероятности того, что случайно выбранная деталь изготовлена каждым рабочим: \[ P(R_1) = \frac{N_1}{N_{\text{total}}} = \frac{1200}{3400} = \frac{12}{34} = \frac{6}{17} \] \[ P(R_2) = \frac{N_2}{N_{\text{total}}} = \frac{900}{3400} = \frac{9}{34} \] \[ P(R_3) = \frac{N_3}{N_{\text{total}}} = \frac{1300}{3400} = \frac{13}{34} \]

Шаг 3: Найдем полную вероятность выбрать бракованную деталь

Полная вероятность того, что случайная деталь бракованная, считается с использованием закона полной вероятности: \[ P(B) = P(B | R_1) P(R_1) + P(B | R_2) P(R_2) + P(B | R_3) P(R_3) \] Подставим известные значения: \[ P(B) = 0,025 \cdot \frac{6}{17} + 0,02 \cdot \frac{9}{34} + 0,04 \cdot \frac{13}{34} \]

Теперь вычислим каждое слагаемое:

• Для первого рабочего: \[ 0,025 \cdot \frac{6}{17} = \frac{0,15}{17} \]
• Для второго рабочего: \[ 0,02 \cdot \frac{9}{34} = \frac{0,18}{34} \]
• Для третьего рабочего: \[ 0,04 \cdot \frac{13}{34} = \frac{0,52}{34} \]

Теперь приведем всё к одному знаменателю: \[ P(B) = \frac{0,15 \cdot 2}{34} + \frac{0,18}{34} + \frac{0,52}{34} = \frac{0,30 + 0,18 + 0,52}{34} = \frac{1,00}{34} \]

Шаг 4: Найдем вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым рабочим

Теперь нам нужна вероятность того, что бракованная деталь пришла от первого рабочего: \[ P(R_1 | B) = \frac{P(B | R_1) P(R_1)}{P(B)} \] Подставим все известные значения: \[ P(R_1 | B) = \frac{0,025 \cdot \frac{6}{17}}{\frac{1}{34}} \]

Это выражение можно упростить: \[ P(R_1 | B) = 0,025 \cdot \frac{6}{17} \cdot 34 = 0,025 \cdot \frac{204}{17} = 0,025 \cdot 12 = 0,3 \]

Ответ

Вероятность того, что бракованная деталь была изготовлена первым рабочим, равна \( 0,3 \) или 30%.