Упражнение 1 из 5
Сообщить об ошибке
Верны ли утверждения о графах?
Выбери правильные варианты ответа из списков.
Степень вершин в графе — это количество исходящих из него рёбер.
Если в графах поровну рёбер и вершин, то такие графы одинаковые.
В любом графе сумма степеней всех вершин — это нечётное число.
В любом графе количество вершин нечётной степени чётно.
Сумма степеней всех вершин графа в два раза больше количества его рёбер.
Осталось 2 попытки
Давайте разберем каждое из утверждений о графах и выясним, какие из них верны:
1. **Степень вершин в графе — это количество исходящих из него рёбер.**
Это утверждение неверно. Степень вершины в графе — это общее количество рёбер, инцидентных этой вершине, т.е. сумма исходящих и входящих рёбер. В ориентированном графе мы можем различать количество входящих и исходящих рёбер, но в неориентированном графе это просто общее количество рёбер, связанных с вершиной.
2. **Если в графах поровну рёбер и вершин, то такие графы одинаковые.**
Это утверждение также неверно. Два графа могут иметь одинаковое число вершин и рёбер, но при этом быть совершенно разными по своей структуре. Например, можно создать граф из 3 вершин и 3 рёбер, который будет треугольником, и другой граф с теми же 3 вершинами, но со 2 рёбрами, и одной вершиной, которая не соединена ни с одной другой.
3. **В любом графе сумма степеней всех вершин — это нечётное число.**
Это неверно. Подсчет степени всех вершин в графе всегда приводит к четному числу, поскольку каждое ребро соединяет две вершины, и, следовательно, добавляет 2 к сумме степеней.
4. **В любом графе количество вершин нечётной степени чётно.**
Это утверждение верно. Связано это с теоремой о числе вершин нечётной степени: в любом графе количество вершин, имеющих нечётную степень, всегда чётное, поскольку каждая вершина, имеющая нечётную степень, добавляет один к числу рёбер, и итоговая сумма степеней, как мы уже увидели, является четным числом.
5. **Сумма степеней всех вершин графа в два раза больше количества его рёбер.**
Это верное утверждение. Это одна из основных теорем в теории графов, известная как теорема о степенях. Сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер, поскольку каждое ребро увеличивает степень двух вершин.
Итак, резюмируя, правильными являются следующие утверждения:
- **Утверждение 4** (Количество вершин нечётной степени чётно).
- **Утверждение 5** (Сумма степеней всех вершин графа в два раза больше количества его рёбер).
Надеюсь, это помогло вам лучше понять свойства графов! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
