в каждом из 500 независимых испытаний события происходят с постоянной вероятностью 0,4 найдите вероятность того что событие а произойдёт точно 220 раз меньше чем 240 и более чем 180 раз
Для решения задачи о вероятности успешного исхода события в binomial experiment (биномиальном испытании) нам следует использовать формулу биномиального распределения. В данном случае у нас есть 500 испытаний, и вероятность успеха (событие «а») в каждом испытании равна 0,4. Мы ищем вероятность того, что событие произойдет точное количество раз от 180 до 240 (то есть от 181 до 239 включительно).
### Шаги решения:
1. **Определение параметров**:
- n (количество испытаний) = 500
- p (вероятность успеха в каждом испытании) = 0,4
2. **Формула биномиального распределения**:
Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз в n испытаниях описывается формулой:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
3. **Определение диапазона**:
Нам необходимо найти вероятность:
\[
P(180 < X < 240) = P(X \leq 239) - P(X \leq 180)
\]
4. **Использование нормального приближения**:
Для больших n, как в нашем случае (n = 500), удобно использовать нормальное приближение. Сначала находим математическое ожидание (μ) и дисперсию (σ²) биномиального распределения:
\[
\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0,4 = 200
\]
\[
\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 500 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 120
\]
\(\sigma \approx \sqrt{120} \approx 10,95\)
5. **Приближение к нормальному распределению**:
Поскольку мы используем нормальное приближение, нужно стандартализовать значения:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
Для 180:
\[
Z_{180} = \frac{180 - 200}{10,95} \approx -1,83
\]
Для 240:
\[
Z_{240} = \frac{240 - 200}{10,95} \approx 3,65
\]
6. **Нахождение вероятностей**:
Теперь мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор для нахождения значения вероятности:
- \(P(Z < -1.83)\)
- \(P(Z < 3.65)\)
С помощью таблиц:
- \(P(Z < -1.83) \approx 0,0331\)
- \(P(Z < 3.65) \approx 0,99984\)
7. **Вычисление окончательной вероятности**:
Теперь мы можем подсчитать:
\[
P(180 < X < 240) = P(X \leq 239) - P(X \leq 180) \approx 0,99984 - 0,0331 = 0,96674
\]
### Ответ:
Вероятность того, что событие "а" произойдет более чем 180 раз и менее чем 240 раз в 500 испытаниях при вероятности 0,4, составляет примерно **0,9667** или **96,67%**.
