Дан прямоугольный треугольник ABC AC больше bc на 3 см AB относится к AC так же как 5 относится к четырём найти AB BC и AC

Чтобы решить задачу, начнем с формулировки данных по условию.

Пусть:

• \( AB = x \) (гипотенуза)
• \( AC = y \)
• \( BC = z \)

Из условия мы знаем два утверждения:

1. \( AC \) больше \( BC \) на 3 см, т.е. \( y = z + 3 \).
2. Отношение \( AB \) к \( AC \) составляет \( \frac{5}{4} \), т.е. \( \frac{x}{y} = \frac{5}{4} \), что можно записать как \( 4x = 5y \) или \( x = \frac{5}{4}y \).

Теперь подставим выражение для \( y \) в уравнение для \( x \):

1. Отношение: \[ x = \frac{5}{4}y \]

2. Подставим \( y = z + 3 \) в уравнение для \( x \): \[ x = \frac{5}{4}(z + 3) \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( y = z + 3 \)
2. \( x = \frac{5}{4}(z + 3) \)

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \( ABC \), где \( AB \) — гипотенуза, а \( AC \) и \( BC \) — катеты: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим \( x \), \( y \), и \( z \): \[ \left( \frac{5}{4}(z + 3) \right)^2 = (z + 3)^2 + z^2 \]

Теперь упростим уравнение:

1. Сначала вычислим левую часть: \[ \left( \frac{5}{4}(z + 3) \right)^2 = \frac{25}{16}(z + 3)^2 \]

2. Теперь правую часть: \[ (z + 3)^2 + z^2 = z^2 + 6z + 9 + z^2 = 2z^2 + 6z + 9 \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{25}{16}(z + 3)^2 = 2z^2 + 6z + 9 \]

Умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби: \[ 25(z + 3)^2 = 16(2z^2 + 6z + 9) \]

Раскроем скобки:

1. Левую часть: \[ 25(z^2 + 6z + 9) = 25z^2 + 150z + 225 \]

2. Правую часть: \[ 16(2z^2 + 6z + 9) = 32z^2 + 96z + 144 \]

Вот что мы получили: \[ 25z^2 + 150z + 225 = 32z^2 + 96z + 144 \]

Переносим все на одну сторону: \[ 25z^2 - 32z^2 + 150z - 96z + 225 - 144 = 0 \] Это упрощается до: \[ -7z^2 + 54z + 81 = 0 \]

Умножаем на -1 для удобства: \[ 7z^2 - 54z - 81 = 0 \]

Теперь можем использовать формулу для решения квадратного уравнения: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 7 \), \( b = -54 \), \( c = -81 \).

Считаем дискриминант: \[ D = (-54)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-81) = 2916 + 2268 = 5184 \]

Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{5184} = 72 \]

Теперь подставим в формулу: \[ z = \frac{54 \pm 72}{14} \]

Находим два возможных значения для \( z \):

1. \( z_1 = \frac{126}{14} = 9 \)
2. \( z_2 = \frac{-18}{14} \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, \( BC = z = 9 \) см.

Теперь найдем \( AC \): \[ y = z + 3 = 9 + 3 = 12 \text{ см.} \]

И найдем \( AB \): \[ x = \frac{5}{4}y = \frac{5}{4} \cdot 12 = 15 \text{ см.} \]

В результате:

• \( AB = 15 \) см
• \( AC = 12 \) см
• \( BC = 9 \) см

Это и есть искомые стороны треугольника: \( AB = 15 \) см, \( AC = 12 \) см, \( BC = 9 \) см.