1. Решите методом подстановки: x - 3y = 8 \\ 2x - y = 6 2. Решите методом сложения: 4x - 5y = -83 \\ 2x + 5y = 29 3. Решите графически систему уравнений: x + y = 5 \\ x + 2y = -1

Давайте решим каждую задачу по порядку, предоставляя подробные объяснения.

Задача 1: Метод подстановки

Система уравнений:

1. \( x - 3y = 8 \) \quad (1)
2. \( 2x - y = 6 \) \quad (2)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую.
Из уравнения (1) выразим \(x\): \[ x = 3y + 8 \quad (3) \]

Шаг 2: Подставим выражение для \(x\) из (3) в уравнение (2).
Теперь вместо \(x\) подставим \(3y + 8\): \[ 2(3y + 8) - y = 6 \]

Шаг 3: Упростим уравнение.
Раскроем скобки: \[ 6y + 16 - y = 6 \] Соберем подобные члены: \[ 5y + 16 = 6 \]

Шаг 4: Найдем \(y\).
Переносим 16 на другую сторону уравнения: \[ 5y = 6 - 16 \] \[ 5y = -10 \Rightarrow y = -2 \]

Шаг 5: Найдём \(x\) подставив \(y\) в выражение (3).
Теперь подставляем найденное значение \(y\) в уравнение (3): \[ x = 3(-2) + 8 \] \[ x = -6 + 8 = 2 \]

Таким образом, решение системы: \[ x = 2, \quad y = -2 \]

Задача 2: Метод сложения

Система уравнений:

1. \( 4x - 5y = -83 \) \quad (1)
2. \( 2x + 5y = 29 \) \quad (2)

Шаг 1: Перепишем уравнения, чтобы подготовить к сложению.
Поскольку второй коэффициент \(y\) равен \(5\) в уравнении (2), мы можем просто сложить уравнения.

Шаг 2: Сложим уравнения.
Складываем (1) и (2): \[ (4x - 5y) + (2x + 5y) = -83 + 29 \] Упростим: \[ 6x = -54 \]

Шаг 3: Найдем \(x\). \[ x = \frac{-54}{6} = -9 \]

Шаг 4: Подставим \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\).
Подставим \(x\) в уравнение (2): \[ 2(-9) + 5y = 29 \] \[ -18 + 5y = 29 \] \[ 5y = 29 + 18 = 47 \Rightarrow y = \frac{47}{5} = 9.4 \]

Таким образом, решение системы: \[ x = -9, \quad y = 9.4 \]

Задача 3: Графический метод

Система уравнений:

1. \( x + y = 5 \) \quad (1)
2. \( x + 2y = -1 \) \quad (2)

Шаг 1: Преобразуем каждое уравнение в общую форму \(y = mx + b\).

Для первого уравнения (1): \[ y = 5 - x \quad (3) \]

Для второго уравнения (2): \[ x + 2y = -1 \Rightarrow 2y = -1 - x \Rightarrow y = \frac{-1 - x}{2} \quad (4) \]

Шаг 2: Теперь мы можем построить графики.

1. Уравнение (3): это прямая, проходящая через точки (0, 5) и (5, 0).
2. Уравнение (4): это прямая, проходящая через точки (-2, 0) и (0, -0.5).

Шаг 3: Пересечение графиков.
Нарисуйте обе линии на координатной плоскости и найдите точку пересечения. Это и будет решением системы.

Наглядное решение:

• Легко увидеть, что линии будут пересекаться. Найдем точку пересечения графически.

Либо можно решить алгебраически, подставив \(y\) из (3) в (4): \[ 5 - x + 2\left(5 - x\right) = -1 \] \[ 5 - x + 10 - 2x = -1 \] \[ 15 - 3x = -1 \Rightarrow 3x = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{3} \] Теперь подставим \(x\) обратно в (3): \[ y = 5 - \frac{16}{3} = \frac{15 - 16}{3} = \frac{-1}{3} \]

Таким образом, решение системы графически: \[ x = \frac{16}{3}, \quad y = -\frac{1}{3} \]

Это были решения для всех заданных задач. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!